6x^2-x=40 lösen

$$6 x ^ { 2 } - x = 40$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 40 von beiden Seiten.

$$6x^{2}-x-40=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 6x^{2}+ax+bx-40 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-1 ab=6\left(-40\right)=-240$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -240 ergeben.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -1 ergibt.

$$a=-16 b=15$$

6x^{2}-x-40 als \left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right) umschreiben.

$$\left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(3x-8\right)+5\left(3x-8\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x-8 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3x-8=0 und 2x+5=0.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$6x^{2}-x=40$$

40 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$6x^{2}-x-40=40-40$$

Die Subtraktion von 40 von sich selbst ergibt 0.

$$6x^{2}-x-40=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 6, b durch -1 und c durch -40, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -24 mit -40.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+960}}{2\times 6}$$

Addieren Sie 1 zu 960.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{961}}{2\times 6}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 961.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±31}{2\times 6}$$

Das Gegenteil von -1 ist 1.

$$x=\frac{1±31}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 6.

$$x=\frac{1±31}{12}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{1±31}{12}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 1 zu 31.

$$x=\frac{32}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{32}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{8}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{1±31}{12}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 31 von 1.

$$x=-\frac{30}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-30}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$6x^{2}-x=40$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 6.

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{40}{6}$$

Division durch 6 macht die Multiplikation mit 6 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{40}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{40}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{20}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{1}{6}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{12} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{12} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{20}{3}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{12}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{20}{3}+\frac{1}{144}$$

Addieren Sie \frac{20}{3} zu \frac{1}{144}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{961}{144}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{961}{144}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{144}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{31}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{31}{12}$$

Addieren Sie \frac{1}{12} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$