6x^2-9x-60=0 lösen

$$6 x ^ { 2 } - 9 x - 60 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=4$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$2x^{2}-3x-20=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 2x^{2}+ax+bx-20 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-3 ab=2\left(-20\right)=-40$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -40 ergeben.

$$1,-40 2,-20 4,-10 5,-8$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-40=-39 2-20=-18 4-10=-6 5-8=-3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -3 ergibt.

$$a=-8 b=5$$

2x^{2}-3x-20 als \left(2x^{2}-8x\right)+\left(5x-20\right) umschreiben.

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(5x-20\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(x-4\right)+5\left(x-4\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-4\right)\left(2x+5\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-4=0 und 2x+5=0.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$6x^{2}-9x-60=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 6, b durch -9 und c durch -60, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 6\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

-9 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 6\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 6.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-24\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -24 mit -60.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+1440}}{2\times 6}$$

Addieren Sie 81 zu 1440.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{1521}}{2\times 6}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1521.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±39}{2\times 6}$$

Das Gegenteil von -9 ist 9.

$$x=\frac{9±39}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 6.

$$x=\frac{9±39}{12}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{9±39}{12}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 9 zu 39.

$$x=\frac{48}{12}$$

Dividieren Sie 48 durch 12.

$$x=4$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{9±39}{12}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 39 von 9.

$$x=-\frac{30}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-30}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$6x^{2}-9x-60=0$$

Addieren Sie 60 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$6x^{2}-9x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Die Subtraktion von -60 von sich selbst ergibt 0.

$$6x^{2}-9x=-\left(-60\right)$$

Subtrahieren Sie -60 von 0.

$$6x^{2}-9x=60$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 6.

$$\frac{6x^{2}-9x}{6}=\frac{60}{6}$$

Division durch 6 macht die Multiplikation mit 6 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{6}\right)x=\frac{60}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-9}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 3 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{60}{6}$$

Dividieren Sie 60 durch 6.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=10$$

Dividieren Sie -\frac{3}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=10+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=10+\frac{9}{16}$$

Addieren Sie 10 zu \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{169}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{13}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{13}{4}$$

Addieren Sie \frac{3}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$