6x^2+5x=6 lösen

$$6 x ^ { 2 } + 5 x = 6$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 6 von beiden Seiten.

$$6x^{2}+5x-6=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 6x^{2}+ax+bx-6 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=5 ab=6\left(-6\right)=-36$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -36 ergeben.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 5 ergibt.

$$a=-4 b=9$$

6x^{2}+5x-6 als \left(6x^{2}-4x\right)+\left(9x-6\right) umschreiben.

$$\left(6x^{2}-4x\right)+\left(9x-6\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(3x-2\right)+3\left(3x-2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x-2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x-2\right)\left(2x+3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3x-2=0 und 2x+3=0.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$6x^{2}+5x=6$$

6 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$6x^{2}+5x-6=6-6$$

Die Subtraktion von 6 von sich selbst ergibt 0.

$$6x^{2}+5x-6=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 6, b durch 5 und c durch -6, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 6\left(-6\right)}}{2\times 6}$$

5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 6\left(-6\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 6.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-24\left(-6\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -24 mit -6.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+144}}{2\times 6}$$

Addieren Sie 25 zu 144.

$$x=\frac{-5±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 169.

$$x=\frac{-5±13}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 6.

$$x=\frac{-5±13}{12}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±13}{12}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -5 zu 13.

$$x=\frac{8}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{8}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{2}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±13}{12}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 13 von -5.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-18}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$6x^{2}+5x=6$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 6.

$$\frac{6x^{2}+5x}{6}=\frac{6}{6}$$

Division durch 6 macht die Multiplikation mit 6 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x=\frac{6}{6}$$

Dividieren Sie 6 durch 6.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x=1$$

Dividieren Sie \frac{5}{6}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{5}{12} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{5}{12} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\left(\frac{5}{12}\right)^{2}=1+\left(\frac{5}{12}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{5}{12}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=1+\frac{25}{144}$$

Addieren Sie 1 zu \frac{25}{144}.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{169}{144}$$

Faktor x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{5}{12}=\frac{13}{12} x+\frac{5}{12}=-\frac{13}{12}$$

\frac{5}{12} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{3}{2}$$