6p^2-2p-3=0 lösen

$$6 p ^ { 2 } - 2 p - 3 = 0$$

Nach p auflösen

$$p=\frac{\sqrt{19}+1}{6}\approx 0,893149824$$

$$p=\frac{1-\sqrt{19}}{6}\approx -0,559816491$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$6p^{2}-2p-3=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 6, b durch -2 und c durch -3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

-2 zum Quadrat.

$$p=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 6.

$$p=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-24\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -24 mit -3.

$$p=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+72}}{2\times 6}$$

Addieren Sie 4 zu 72.

$$p=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{76}}{2\times 6}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 76.

$$p=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{19}}{2\times 6}$$

Das Gegenteil von -2 ist 2.

$$p=\frac{2±2\sqrt{19}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 6.

$$p=\frac{2±2\sqrt{19}}{12}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung p=\frac{2±2\sqrt{19}}{12}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 2 zu 2\sqrt{19}.

$$p=\frac{2\sqrt{19}+2}{12}$$

Dividieren Sie 2+2\sqrt{19} durch 12.

$$p=\frac{\sqrt{19}+1}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung p=\frac{2±2\sqrt{19}}{12}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{19} von 2.

$$p=\frac{2-2\sqrt{19}}{12}$$

Dividieren Sie 2-2\sqrt{19} durch 12.

$$p=\frac{1-\sqrt{19}}{6}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$p=\frac{\sqrt{19}+1}{6} p=\frac{1-\sqrt{19}}{6}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$6p^{2}-2p-3=0$$

Addieren Sie 3 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$6p^{2}-2p-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Die Subtraktion von -3 von sich selbst ergibt 0.

$$6p^{2}-2p=-\left(-3\right)$$

Subtrahieren Sie -3 von 0.

$$6p^{2}-2p=3$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 6.

$$\frac{6p^{2}-2p}{6}=\frac{3}{6}$$

Division durch 6 macht die Multiplikation mit 6 rückgängig.

$$p^{2}+\left(-\frac{2}{6}\right)p=\frac{3}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-2}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$p^{2}-\frac{1}{3}p=\frac{3}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{3}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 3 extrahieren und aufheben.

$$p^{2}-\frac{1}{3}p=\frac{1}{2}$$

Dividieren Sie -\frac{1}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{6} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{6} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$p^{2}-\frac{1}{3}p+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{6}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$p^{2}-\frac{1}{3}p+\frac{1}{36}=\frac{1}{2}+\frac{1}{36}$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu \frac{1}{36}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$p^{2}-\frac{1}{3}p+\frac{1}{36}=\frac{19}{36}$$

Faktor p^{2}-\frac{1}{3}p+\frac{1}{36}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(p-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{19}{36}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(p-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{19}{36}}$$

Vereinfachen.

$$p-\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{19}}{6} p-\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{19}}{6}$$

Addieren Sie \frac{1}{6} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$p=\frac{\sqrt{19}+1}{6} p=\frac{1-\sqrt{19}}{6}$$