6b^2-27b-15 lösen

$$6 b ^ { 2 } - 27 b - 15$$

Faktorisieren

$$3\left(b-5\right)\left(2b+1\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 3 aus.

$$3\left(2b^{2}-9b-5\right)$$

Betrachten Sie 2b^{2}-9b-5. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 2b^{2}+pb+qb-5 umgeschrieben werden. Um p und q zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$p+q=-9 pq=2\left(-5\right)=-10$$

Weil pq negativ ist, haben p und q entgegengesetzte Vorzeichen. Weil p+q negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -10 ergeben.

$$1,-10 2,-5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-10=-9 2-5=-3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -9 ergibt.

$$p=-10 q=1$$

2b^{2}-9b-5 als \left(2b^{2}-10b\right)+\left(b-5\right) umschreiben.

$$\left(2b^{2}-10b\right)+\left(b-5\right)$$

Klammern Sie 2b in 2b^{2}-10b aus.

$$2b\left(b-5\right)+b-5$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term b-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(b-5\right)\left(2b+1\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$3\left(b-5\right)\left(2b+1\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$6b^{2}-27b-15=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$b=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{\left(-27\right)^{2}-4\times 6\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

-27 zum Quadrat.

$$b=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-4\times 6\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 6.

$$b=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-24\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -24 mit -15.

$$b=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729+360}}{2\times 6}$$

Addieren Sie 729 zu 360.

$$b=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{1089}}{2\times 6}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1089.

$$b=\frac{-\left(-27\right)±33}{2\times 6}$$

Das Gegenteil von -27 ist 27.

$$b=\frac{27±33}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 6.

$$b=\frac{27±33}{12}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung b=\frac{27±33}{12}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 27 zu 33.

$$b=\frac{60}{12}$$

Dividieren Sie 60 durch 12.

$$b=5$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung b=\frac{27±33}{12}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 33 von 27.

$$b=-\frac{6}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-6}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$b=-\frac{1}{2}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 5 und für x_{2} -\frac{1}{2} ein.

$$6b^{2}-27b-15=6\left(b-5\right)\left(b-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$6b^{2}-27b-15=6\left(b-5\right)\left(b+\frac{1}{2}\right)$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu b, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$6b^{2}-27b-15=6\left(b-5\right)\times \frac{2b+1}{2}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 2 in 6 und 2 aufheben.

$$6b^{2}-27b-15=3\left(b-5\right)\left(2b+1\right)$$

Auswerten

$$3\left(b-5\right)\left(2b+1\right)$$