6x^2+19x-7=0 lösen

$$6 { x }^{ 2 } +19x-7=0$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 6x^{2}+ax+bx-7 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=19 ab=6\left(-7\right)=-42$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -42 ergeben.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 19 ergibt.

$$a=-2 b=21$$

6x^{2}+19x-7 als \left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right) umschreiben.

$$\left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und 7 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x-1\right)\left(2x+7\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3x-1=0 und 2x+7=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 6, b durch 19 und c durch -7, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

19 zum Quadrat.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 6.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-24\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -24 mit -7.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+168}}{2\times 6}$$

Addieren Sie 361 zu 168.

$$x=\frac{-19±\sqrt{529}}{2\times 6}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 529.

$$x=\frac{-19±23}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 6.

$$x=\frac{-19±23}{12}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-19±23}{12}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -19 zu 23.

$$x=\frac{4}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{4}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-19±23}{12}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 23 von -19.

$$x=-\frac{42}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-42}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Addieren Sie 7 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$6x^{2}+19x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Die Subtraktion von -7 von sich selbst ergibt 0.

$$6x^{2}+19x=-\left(-7\right)$$

Subtrahieren Sie -7 von 0.

$$6x^{2}+19x=7$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 6.

$$\frac{6x^{2}+19x}{6}=\frac{7}{6}$$

Division durch 6 macht die Multiplikation mit 6 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x=\frac{7}{6}$$

Dividieren Sie \frac{19}{6}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{19}{12} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{19}{12} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{7}{6}+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{19}{12}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{7}{6}+\frac{361}{144}$$

Addieren Sie \frac{7}{6} zu \frac{361}{144}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{529}{144}$$

Faktor x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{529}{144}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{144}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{19}{12}=\frac{23}{12} x+\frac{19}{12}=-\frac{23}{12}$$

\frac{19}{12} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$