56-60b+4b^2=0 lösen

$$56-60b+4 { b }^{ 2 } = 0$$

Nach b auflösen

$$b=1$$

$$b=14$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$14-15b+b^{2}=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$b^{2}-15b+14=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als b^{2}+ab+bb+14 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-15 ab=1\times 14=14$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 14 ergeben.

$$-1,-14 -2,-7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-14=-15 -2-7=-9$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -15 ergibt.

$$a=-14 b=-1$$

b^{2}-15b+14 als \left(b^{2}-14b\right)+\left(-b+14\right) umschreiben.

$$\left(b^{2}-14b\right)+\left(-b+14\right)$$

Klammern Sie b in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$b\left(b-14\right)-\left(b-14\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term b-14 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(b-14\right)\left(b-1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie b-14=0 und b-1=0.

$$b=14 b=1$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4b^{2}-60b+56=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch -60 und c durch 56, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{\left(-60\right)^{2}-4\times 4\times 56}}{2\times 4}$$

-60 zum Quadrat.

$$b=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-4\times 4\times 56}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$b=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-16\times 56}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit 56.

$$b=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-896}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 3600 zu -896.

$$b=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{2704}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 2704.

$$b=\frac{-\left(-60\right)±52}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -60 ist 60.

$$b=\frac{60±52}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$b=\frac{60±52}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung b=\frac{60±52}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 60 zu 52.

$$b=\frac{112}{8}$$

Dividieren Sie 112 durch 8.

$$b=14$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung b=\frac{60±52}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 52 von 60.

$$b=\frac{8}{8}$$

Dividieren Sie 8 durch 8.

$$b=1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$b=14 b=1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4b^{2}-60b+56=0$$

56 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$4b^{2}-60b+56-56=-56$$

Die Subtraktion von 56 von sich selbst ergibt 0.

$$4b^{2}-60b=-56$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4b^{2}-60b}{4}=-\frac{56}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$b^{2}+\left(-\frac{60}{4}\right)b=-\frac{56}{4}$$

Dividieren Sie -60 durch 4.

$$b^{2}-15b=-\frac{56}{4}$$

Dividieren Sie -56 durch 4.

$$b^{2}-15b=-14$$

Dividieren Sie -15, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{15}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{15}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$b^{2}-15b+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-14+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{15}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$b^{2}-15b+\frac{225}{4}=-14+\frac{225}{4}$$

Addieren Sie -14 zu \frac{225}{4}.

$$b^{2}-15b+\frac{225}{4}=\frac{169}{4}$$

Faktor b^{2}-15b+\frac{225}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(b-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(b-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Vereinfachen.

$$b-\frac{15}{2}=\frac{13}{2} b-\frac{15}{2}=-\frac{13}{2}$$

Addieren Sie \frac{15}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$b=14 b=1$$