56x^2-30x+1=0 lösen

$$56 { x }^{ 2 } -30x+1=0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{1}{28}\approx 0,035714286$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 56x^{2}+ax+bx+1 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-30 ab=56\times 1=56$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 56 ergeben.

$$-1,-56 -2,-28 -4,-14 -7,-8$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-56=-57 -2-28=-30 -4-14=-18 -7-8=-15$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -30 ergibt.

$$a=-28 b=-2$$

56x^{2}-30x+1 als \left(56x^{2}-28x\right)+\left(-2x+1\right) umschreiben.

$$\left(56x^{2}-28x\right)+\left(-2x+1\right)$$

Klammern Sie 28x in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$28x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-1\right)\left(28x-1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 2x-1=0 und 28x-1=0.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$56x^{2}-30x+1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 56, b durch -30 und c durch 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 56}}{2\times 56}$$

-30 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 56}}{2\times 56}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 56.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-224}}{2\times 56}$$

Addieren Sie 900 zu -224.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{676}}{2\times 56}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 676.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±26}{2\times 56}$$

Das Gegenteil von -30 ist 30.

$$x=\frac{30±26}{2\times 56}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 56.

$$x=\frac{30±26}{112}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{30±26}{112}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 30 zu 26.

$$x=\frac{56}{112}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{56}{112} um den niedrigsten Term, indem Sie 56 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{30±26}{112}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 26 von 30.

$$x=\frac{4}{112}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{4}{112} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{28}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$56x^{2}-30x+1=0$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$56x^{2}-30x+1-1=-1$$

Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.

$$56x^{2}-30x=-1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 56.

$$\frac{56x^{2}-30x}{56}=-\frac{1}{56}$$

Division durch 56 macht die Multiplikation mit 56 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{56}\right)x=-\frac{1}{56}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-30}{56} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x=-\frac{1}{56}$$

Dividieren Sie -\frac{15}{28}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{15}{56} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{15}{56} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\left(-\frac{15}{56}\right)^{2}=-\frac{1}{56}+\left(-\frac{15}{56}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{15}{56}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}=-\frac{1}{56}+\frac{225}{3136}$$

Addieren Sie -\frac{1}{56} zu \frac{225}{3136}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}=\frac{169}{3136}$$

Faktor x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{15}{56}\right)^{2}=\frac{169}{3136}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{56}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{3136}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{15}{56}=\frac{13}{56} x-\frac{15}{56}=-\frac{13}{56}$$

Addieren Sie \frac{15}{56} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$