50x-2x^2-300=0 lösen

$$50 x - 2 x ^ { 2 } - 300 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=10$$

$$x=15$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$25x-x^{2}-150=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$-x^{2}+25x-150=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -x^{2}+ax+bx-150 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=25 ab=-\left(-150\right)=150$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 150 ergeben.

$$1,150 2,75 3,50 5,30 6,25 10,15$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+150=151 2+75=77 3+50=53 5+30=35 6+25=31 10+15=25$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 25 ergibt.

$$a=15 b=10$$

-x^{2}+25x-150 als \left(-x^{2}+15x\right)+\left(10x-150\right) umschreiben.

$$\left(-x^{2}+15x\right)+\left(10x-150\right)$$

Klammern Sie -x in der ersten und 10 in der zweiten Gruppe aus.

$$-x\left(x-15\right)+10\left(x-15\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-15 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-15\right)\left(-x+10\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-15=0 und -x+10=0.

$$x=15 x=10$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-2x^{2}+50x-300=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -2, b durch 50 und c durch -300, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\left(-2\right)\left(-300\right)}}{2\left(-2\right)}$$

50 zum Quadrat.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500-4\left(-2\right)\left(-300\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -2.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500+8\left(-300\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie 8 mit -300.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500-2400}}{2\left(-2\right)}$$

Addieren Sie 2500 zu -2400.

$$x=\frac{-50±\sqrt{100}}{2\left(-2\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 100.

$$x=\frac{-50±10}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -2.

$$x=\frac{-50±10}{-4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-50±10}{-4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -50 zu 10.

$$x=-\frac{40}{-4}$$

Dividieren Sie -40 durch -4.

$$x=10$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-50±10}{-4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 10 von -50.

$$x=-\frac{60}{-4}$$

Dividieren Sie -60 durch -4.

$$x=15$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=10 x=15$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-2x^{2}+50x-300=0$$

Addieren Sie 300 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$-2x^{2}+50x-300-\left(-300\right)=-\left(-300\right)$$

Die Subtraktion von -300 von sich selbst ergibt 0.

$$-2x^{2}+50x=-\left(-300\right)$$

Subtrahieren Sie -300 von 0.

$$-2x^{2}+50x=300$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -2.

$$\frac{-2x^{2}+50x}{-2}=\frac{300}{-2}$$

Division durch -2 macht die Multiplikation mit -2 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{50}{-2}x=\frac{300}{-2}$$

Dividieren Sie 50 durch -2.

$$x^{2}-25x=\frac{300}{-2}$$

Dividieren Sie 300 durch -2.

$$x^{2}-25x=-150$$

Dividieren Sie -25, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{25}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{25}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-25x+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-150+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{25}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-150+\frac{625}{4}$$

Addieren Sie -150 zu \frac{625}{4}.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=\frac{25}{4}$$

Faktor x^{2}-25x+\frac{625}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{25}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{25}{2}=-\frac{5}{2}$$

Addieren Sie \frac{25}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=15 x=10$$