5x^2-x+7=0 lösen

$$5 x ^ { 2 } - x + 7 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{1+\sqrt{139}i}{10}\approx 0,1+1,178982612i$$

$$x=\frac{-\sqrt{139}i+1}{10}\approx 0,1-1,178982612i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5x^{2}-x+7=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch -1 und c durch 7, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\times 7}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\times 7}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit 7.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-140}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 1 zu -140.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-139}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -139.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{139}i}{2\times 5}$$

Das Gegenteil von -1 ist 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{139}i}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{1±\sqrt{139}i}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{1±\sqrt{139}i}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 1 zu i\sqrt{139}.

$$x=\frac{1+\sqrt{139}i}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{1±\sqrt{139}i}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{139} von 1.

$$x=\frac{-\sqrt{139}i+1}{10}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{1+\sqrt{139}i}{10} x=\frac{-\sqrt{139}i+1}{10}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5x^{2}-x+7=0$$

7 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$5x^{2}-x+7-7=-7$$

Die Subtraktion von 7 von sich selbst ergibt 0.

$$5x^{2}-x=-7$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=-\frac{7}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=-\frac{7}{5}$$

Dividieren Sie -\frac{1}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{10} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{10} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=-\frac{7}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{10}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=-\frac{7}{5}+\frac{1}{100}$$

Addieren Sie -\frac{7}{5} zu \frac{1}{100}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=-\frac{139}{100}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=-\frac{139}{100}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{139}{100}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{\sqrt{139}i}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{\sqrt{139}i}{10}$$

Addieren Sie \frac{1}{10} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{1+\sqrt{139}i}{10} x=\frac{-\sqrt{139}i+1}{10}$$