5x^2-4x-1=0 lösen

$$5 x ^ { 2 } - 4 x - 1 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$x=1$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 5x^{2}+ax+bx-1 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-4 ab=5\left(-1\right)=-5$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Das einzige derartige Paar ist die Lösung des Systems.

$$a=-5 b=1$$

5x^{2}-4x-1 als \left(5x^{2}-5x\right)+\left(x-1\right) umschreiben.

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(x-1\right)$$

Klammern Sie 5x in 5x^{2}-5x aus.

$$5x\left(x-1\right)+x-1$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-1=0 und 5x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5x^{2}-4x-1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch -4 und c durch -1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

-4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+20}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 16 zu 20.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{36}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 36.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±6}{2\times 5}$$

Das Gegenteil von -4 ist 4.

$$x=\frac{4±6}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{4±6}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±6}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 4 zu 6.

$$x=\frac{10}{10}$$

Dividieren Sie 10 durch 10.

$$x=1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±6}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 6 von 4.

$$x=-\frac{2}{10}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-2}{10} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5x^{2}-4x-1=0$$

Addieren Sie 1 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$5x^{2}-4x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Die Subtraktion von -1 von sich selbst ergibt 0.

$$5x^{2}-4x=-\left(-1\right)$$

Subtrahieren Sie -1 von 0.

$$5x^{2}-4x=1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=\frac{1}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=\frac{1}{5}$$

Dividieren Sie -\frac{4}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{2}{5} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{2}{5} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{1}{5}+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{2}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{1}{5}+\frac{4}{25}$$

Addieren Sie \frac{1}{5} zu \frac{4}{25}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{9}{25}$$

Faktor x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{9}{25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{25}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{3}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{3}{5}$$

Addieren Sie \frac{2}{5} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$