5x^2-2x-16=0 lösen

$$5 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1,6$$

$$x=2$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 5x^{2}+ax+bx-16 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-2 ab=5\left(-16\right)=-80$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -80 ergeben.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -2 ergibt.

$$a=-10 b=8$$

5x^{2}-2x-16 als \left(5x^{2}-10x\right)+\left(8x-16\right) umschreiben.

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(8x-16\right)$$

Klammern Sie 5x in der ersten und 8 in der zweiten Gruppe aus.

$$5x\left(x-2\right)+8\left(x-2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-2\right)\left(5x+8\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-2=0 und 5x+8=0.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5x^{2}-2x-16=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch -2 und c durch -16, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

-2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-20\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+320}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 4 zu 320.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{324}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 324.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±18}{2\times 5}$$

Das Gegenteil von -2 ist 2.

$$x=\frac{2±18}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{2±18}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±18}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 2 zu 18.

$$x=\frac{20}{10}$$

Dividieren Sie 20 durch 10.

$$x=2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±18}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 18 von 2.

$$x=-\frac{16}{10}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-16}{10} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5x^{2}-2x-16=0$$

Addieren Sie 16 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$5x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Die Subtraktion von -16 von sich selbst ergibt 0.

$$5x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

Subtrahieren Sie -16 von 0.

$$5x^{2}-2x=16$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}-2x}{5}=\frac{16}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{16}{5}$$

Dividieren Sie -\frac{2}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{5} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{5} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{16}{5}+\frac{1}{25}$$

Addieren Sie \frac{16}{5} zu \frac{1}{25}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{81}{25}$$

Faktor x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{81}{25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{25}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{9}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{9}{5}$$

Addieren Sie \frac{1}{5} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$