5x^2-2x+1=0 lösen

$$5 x ^ { 2 } - 2 x + 1 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i=0,2+0,4i$$

$$x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i=0,2-0,4i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5x^{2}-2x+1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch -2 und c durch 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

-2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 5}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-20}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 4 zu -20.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-16}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4i}{2\times 5}$$

Das Gegenteil von -2 ist 2.

$$x=\frac{2±4i}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{2±4i}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±4i}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 2 zu 4i.

$$x=\frac{2+4i}{10}$$

Dividieren Sie 2+4i durch 10.

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±4i}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4i von 2.

$$x=\frac{2-4i}{10}$$

Dividieren Sie 2-4i durch 10.

$$x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5x^{2}-2x+1=0$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$5x^{2}-2x+1-1=-1$$

Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.

$$5x^{2}-2x=-1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}-2x}{5}=-\frac{1}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Dividieren Sie -\frac{2}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{5} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{5} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{1}{5}+\frac{1}{25}$$

Addieren Sie -\frac{1}{5} zu \frac{1}{25}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{4}{25}$$

Faktor x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{4}{25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{4}{25}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{2}{5}i x-\frac{1}{5}=-\frac{2}{5}i$$

Addieren Sie \frac{1}{5} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$$