5x^2-14x-3 lösen

$$5 x ^ { 2 } - 14 x - 3$$

Faktorisieren

$$\left(x-3\right)\left(5x+1\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 5x^{2}+ax+bx-3 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-14 ab=5\left(-3\right)=-15$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -15 ergeben.

$$1,-15 3,-5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-15=-14 3-5=-2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -14 ergibt.

$$a=-15 b=1$$

5x^{2}-14x-3 als \left(5x^{2}-15x\right)+\left(x-3\right) umschreiben.

$$\left(5x^{2}-15x\right)+\left(x-3\right)$$

Klammern Sie 5x in 5x^{2}-15x aus.

$$5x\left(x-3\right)+x-3$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-3\right)\left(5x+1\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$5x^{2}-14x-3=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 5\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

-14 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 5\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-20\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit -3.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+60}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 196 zu 60.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{256}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 256.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±16}{2\times 5}$$

Das Gegenteil von -14 ist 14.

$$x=\frac{14±16}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{14±16}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{14±16}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 14 zu 16.

$$x=\frac{30}{10}$$

Dividieren Sie 30 durch 10.

$$x=3$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{14±16}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 16 von 14.

$$x=-\frac{2}{10}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-2}{10} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 3 und für x_{2} -\frac{1}{5} ein.

$$5x^{2}-14x-3=5\left(x-3\right)\left(x-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$5x^{2}-14x-3=5\left(x-3\right)\left(x+\frac{1}{5}\right)$$

Addieren Sie \frac{1}{5} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$5x^{2}-14x-3=5\left(x-3\right)\times \frac{5x+1}{5}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 5 in 5 und 5 aufheben.

$$5x^{2}-14x-3=\left(x-3\right)\left(5x+1\right)$$

Auswerten

$$\left(x-3\right)\left(5x+1\right)$$