5x^2+8x-4=0 lösen

$$5 x ^ { 2 } + 8 x - 4 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-2$$

$$x=\frac{2}{5}=0,4$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 5x^{2}+ax+bx-4 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=8 ab=5\left(-4\right)=-20$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -20 ergeben.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 8 ergibt.

$$a=-2 b=10$$

5x^{2}+8x-4 als \left(5x^{2}-2x\right)+\left(10x-4\right) umschreiben.

$$\left(5x^{2}-2x\right)+\left(10x-4\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 5x-2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(5x-2\right)\left(x+2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 5x-2=0 und x+2=0.

$$x=\frac{2}{5} x=-2$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5x^{2}+8x-4=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch 8 und c durch -4, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

8 zum Quadrat.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-20\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit -4.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+80}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 64 zu 80.

$$x=\frac{-8±\sqrt{144}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 144.

$$x=\frac{-8±12}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{-8±12}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-8±12}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -8 zu 12.

$$x=\frac{4}{10}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{4}{10} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{2}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-8±12}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 12 von -8.

$$x=-\frac{20}{10}$$

Dividieren Sie -20 durch 10.

$$x=-2$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{2}{5} x=-2$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5x^{2}+8x-4=0$$

Addieren Sie 4 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$5x^{2}+8x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Die Subtraktion von -4 von sich selbst ergibt 0.

$$5x^{2}+8x=-\left(-4\right)$$

Subtrahieren Sie -4 von 0.

$$5x^{2}+8x=4$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}+8x}{5}=\frac{4}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x=\frac{4}{5}$$

Dividieren Sie \frac{8}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{4}{5} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{4}{5} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{4}{5}+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{4}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{4}{5}+\frac{16}{25}$$

Addieren Sie \frac{4}{5} zu \frac{16}{25}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{36}{25}$$

Faktor x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{36}{25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{36}{25}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{4}{5}=\frac{6}{5} x+\frac{4}{5}=-\frac{6}{5}$$

\frac{4}{5} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{2}{5} x=-2$$