5x^2+2x-7 lösen

$$5 x ^ { 2 } + 2 x - 7$$

Faktorisieren

$$\left(x-1\right)\left(5x+7\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 5x^{2}+ax+bx-7 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=2 ab=5\left(-7\right)=-35$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -35 ergeben.

$$-1,35 -5,7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+35=34 -5+7=2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 2 ergibt.

$$a=-5 b=7$$

5x^{2}+2x-7 als \left(5x^{2}-5x\right)+\left(7x-7\right) umschreiben.

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(7x-7\right)$$

Klammern Sie 5x in der ersten und 7 in der zweiten Gruppe aus.

$$5x\left(x-1\right)+7\left(x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-1\right)\left(5x+7\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$5x^{2}+2x-7=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-20\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit -7.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+140}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 4 zu 140.

$$x=\frac{-2±\sqrt{144}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 144.

$$x=\frac{-2±12}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{-2±12}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±12}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -2 zu 12.

$$x=\frac{10}{10}$$

Dividieren Sie 10 durch 10.

$$x=1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±12}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 12 von -2.

$$x=-\frac{14}{10}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-14}{10} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{7}{5}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 1 und für x_{2} -\frac{7}{5} ein.

$$5x^{2}+2x-7=5\left(x-1\right)\left(x-\left(-\frac{7}{5}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$5x^{2}+2x-7=5\left(x-1\right)\left(x+\frac{7}{5}\right)$$

Addieren Sie \frac{7}{5} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$5x^{2}+2x-7=5\left(x-1\right)\times \frac{5x+7}{5}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 5 in 5 und 5 aufheben.

$$5x^{2}+2x-7=\left(x-1\right)\left(5x+7\right)$$

Auswerten

$$\left(x-1\right)\left(5x+7\right)$$