5t^2-3t-5=0 lösen

$$5 t ^ { 2 } - 3 t - 5 = 0$$

Nach t auflösen

$$t = \frac{\sqrt{109} + 3}{10} \approx 1,344030651$$

$$t=\frac{3-\sqrt{109}}{10}\approx -0,744030651$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5t^{2}-3t-5=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch -3 und c durch -5, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 5\left(-5\right)}}{2\times 5}$$

-3 zum Quadrat.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 5\left(-5\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-20\left(-5\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit -5.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+100}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 9 zu 100.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{109}}{2\times 5}$$

Das Gegenteil von -3 ist 3.

$$t=\frac{3±\sqrt{109}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$t=\frac{3±\sqrt{109}}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung t=\frac{3±\sqrt{109}}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 3 zu \sqrt{109}.

$$t=\frac{\sqrt{109}+3}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung t=\frac{3±\sqrt{109}}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{109} von 3.

$$t=\frac{3-\sqrt{109}}{10}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$t=\frac{\sqrt{109}+3}{10} t=\frac{3-\sqrt{109}}{10}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5t^{2}-3t-5=0$$

Addieren Sie 5 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$5t^{2}-3t-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Die Subtraktion von -5 von sich selbst ergibt 0.

$$5t^{2}-3t=-\left(-5\right)$$

Subtrahieren Sie -5 von 0.

$$5t^{2}-3t=5$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5t^{2}-3t}{5}=\frac{5}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$t^{2}-\frac{3}{5}t=\frac{5}{5}$$

Dividieren Sie 5 durch 5.

$$t^{2}-\frac{3}{5}t=1$$

Dividieren Sie -\frac{3}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{10} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{10} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$t^{2}-\frac{3}{5}t+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=1+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{10}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$t^{2}-\frac{3}{5}t+\frac{9}{100}=1+\frac{9}{100}$$

Addieren Sie 1 zu \frac{9}{100}.

$$t^{2}-\frac{3}{5}t+\frac{9}{100}=\frac{109}{100}$$

Faktor t^{2}-\frac{3}{5}t+\frac{9}{100}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(t-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{109}{100}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{109}{100}}$$

Vereinfachen.

$$t-\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{109}}{10} t-\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{109}}{10}$$

Addieren Sie \frac{3}{10} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$t=\frac{\sqrt{109}+3}{10} t=\frac{3-\sqrt{109}}{10}$$