5x^2-4x+16=0 lösen

$$5 { x }^{ 2 } -4x+16=0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{2+2\sqrt{19}i}{5}\approx 0,4+1,743559577i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{19}i+2}{5}\approx 0,4-1,743559577i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5x^{2}-4x+16=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch -4 und c durch 16, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\times 16}}{2\times 5}$$

-4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\times 16}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\times 16}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit 16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-320}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 16 zu -320.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-304}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -304.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{19}i}{2\times 5}$$

Das Gegenteil von -4 ist 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{19}i}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{4±4\sqrt{19}i}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±4\sqrt{19}i}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 4 zu 4i\sqrt{19}.

$$x=\frac{4+4\sqrt{19}i}{10}$$

Dividieren Sie 4+4i\sqrt{19} durch 10.

$$x=\frac{2+2\sqrt{19}i}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±4\sqrt{19}i}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4i\sqrt{19} von 4.

$$x=\frac{-4\sqrt{19}i+4}{10}$$

Dividieren Sie 4-4i\sqrt{19} durch 10.

$$x=\frac{-2\sqrt{19}i+2}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{2+2\sqrt{19}i}{5} x=\frac{-2\sqrt{19}i+2}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5x^{2}-4x+16=0$$

16 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$5x^{2}-4x+16-16=-16$$

Die Subtraktion von 16 von sich selbst ergibt 0.

$$5x^{2}-4x=-16$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=-\frac{16}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-\frac{16}{5}$$

Dividieren Sie -\frac{4}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{2}{5} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{2}{5} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{16}{5}+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{2}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{16}{5}+\frac{4}{25}$$

Addieren Sie -\frac{16}{5} zu \frac{4}{25}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{76}{25}$$

Faktor x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{76}{25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{76}{25}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{2\sqrt{19}i}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{2\sqrt{19}i}{5}$$

Addieren Sie \frac{2}{5} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{2+2\sqrt{19}i}{5} x=\frac{-2\sqrt{19}i+2}{5}$$