5x^2+3x-2=0 lösen

$$5 { x }^{ 2 } +3x-2=0$$

Nach x auflösen

$$x=-1$$

$$x=\frac{2}{5}=0,4$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 5x^{2}+ax+bx-2 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=3 ab=5\left(-2\right)=-10$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -10 ergeben.

$$-1,10 -2,5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 3 ergibt.

$$a=-2 b=5$$

5x^{2}+3x-2 als \left(5x^{2}-2x\right)+\left(5x-2\right) umschreiben.

$$\left(5x^{2}-2x\right)+\left(5x-2\right)$$

Klammern Sie x in 5x^{2}-2x aus.

$$x\left(5x-2\right)+5x-2$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 5x-2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(5x-2\right)\left(x+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 5x-2=0 und x+1=0.

$$x=\frac{2}{5} x=-1$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5x^{2}+3x-2=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch 3 und c durch -2, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

3 zum Quadrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit -2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+40}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 9 zu 40.

$$x=\frac{-3±\sqrt{49}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 49.

$$x=\frac{-3±7}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{-3±7}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±7}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -3 zu 7.

$$x=\frac{4}{10}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{4}{10} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{2}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±7}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 7 von -3.

$$x=-\frac{10}{10}$$

Dividieren Sie -10 durch 10.

$$x=-1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{2}{5} x=-1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5x^{2}+3x-2=0$$

Addieren Sie 2 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$5x^{2}+3x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Die Subtraktion von -2 von sich selbst ergibt 0.

$$5x^{2}+3x=-\left(-2\right)$$

Subtrahieren Sie -2 von 0.

$$5x^{2}+3x=2$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=\frac{2}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=\frac{2}{5}$$

Dividieren Sie \frac{3}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{3}{10} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{3}{10} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{2}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{3}{10}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{2}{5}+\frac{9}{100}$$

Addieren Sie \frac{2}{5} zu \frac{9}{100}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{49}{100}$$

Faktor x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{49}{100}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{100}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{3}{10}=\frac{7}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{7}{10}$$

\frac{3}{10} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{2}{5} x=-1$$