5x^2+12x-7=0 lösen

$$5 { x }^{ 2 } +12x-7=0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{71}-6}{5}\approx 0,485229955$$

$$x=\frac{-\sqrt{71}-6}{5}\approx -2,885229955$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5x^{2}+12x-7=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch 12 und c durch -7, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

12 zum Quadrat.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-20\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit -7.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+140}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 144 zu 140.

$$x=\frac{-12±\sqrt{284}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 284.

$$x=\frac{-12±2\sqrt{71}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{-12±2\sqrt{71}}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-12±2\sqrt{71}}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -12 zu 2\sqrt{71}.

$$x=\frac{2\sqrt{71}-12}{10}$$

Dividieren Sie -12+2\sqrt{71} durch 10.

$$x=\frac{\sqrt{71}-6}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-12±2\sqrt{71}}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{71} von -12.

$$x=\frac{-2\sqrt{71}-12}{10}$$

Dividieren Sie -12-2\sqrt{71} durch 10.

$$x=\frac{-\sqrt{71}-6}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{71}-6}{5} x=\frac{-\sqrt{71}-6}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5x^{2}+12x-7=0$$

Addieren Sie 7 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$5x^{2}+12x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Die Subtraktion von -7 von sich selbst ergibt 0.

$$5x^{2}+12x=-\left(-7\right)$$

Subtrahieren Sie -7 von 0.

$$5x^{2}+12x=7$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}+12x}{5}=\frac{7}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x=\frac{7}{5}$$

Dividieren Sie \frac{12}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{6}{5} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{6}{5} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{7}{5}+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{6}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{7}{5}+\frac{36}{25}$$

Addieren Sie \frac{7}{5} zu \frac{36}{25}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{71}{25}$$

Faktor x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{71}{25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{71}{25}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{6}{5}=\frac{\sqrt{71}}{5} x+\frac{6}{5}=-\frac{\sqrt{71}}{5}$$

\frac{6}{5} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{71}-6}{5} x=\frac{-\sqrt{71}-6}{5}$$