49v^2+112v+64 lösen

$$49 v ^ { 2 } + 112 v + 64$$

Faktorisieren

$$\left(7v+8\right)^{2}$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 49v^{2}+av+bv+64 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=112 ab=49\times 64=3136$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 3136 ergeben.

$$1,3136 2,1568 4,784 7,448 8,392 14,224 16,196 28,112 32,98 49,64 56,56$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+3136=3137 2+1568=1570 4+784=788 7+448=455 8+392=400 14+224=238 16+196=212 28+112=140 32+98=130 49+64=113 56+56=112$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 112 ergibt.

$$a=56 b=56$$

49v^{2}+112v+64 als \left(49v^{2}+56v\right)+\left(56v+64\right) umschreiben.

$$\left(49v^{2}+56v\right)+\left(56v+64\right)$$

Klammern Sie 7v in der ersten und 8 in der zweiten Gruppe aus.

$$7v\left(7v+8\right)+8\left(7v+8\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 7v+8 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(7v+8\right)\left(7v+8\right)$$

Umschreiben als binomisches Quadrat.

$$\left(7v+8\right)^{2}$$

Schritte unter Verwendung des Quadrats von Binomen

Dieses Trinom hat die Form eines trinomischen Quadrats, möglicherweise mit einem gemeinsamen Faktor multipliziert. Trinomische Quadrate können durch Finden der Quadratwurzeln des führenden und des schließenden Terms in Faktoren zerlegt werden.

$$factor(49v^{2}+112v+64)$$

Suchen Sie den größten gemeinsamen Faktor der Koeffizienten.

$$gcf(49,112,64)=1$$

Suchen Sie die Quadratwurzel des führenden Terms 49v^{2}.

$$\sqrt{49v^{2}}=7v$$

Suchen Sie die Quadratwurzel des schließenden Terms 64.

$$\sqrt{64}=8$$

Das trinomische Quadrat ist das Quadrat des Binoms, das die Summe oder Differenz der Quadratwurzeln des führenden und des schließenden Terms ist, wodurch das Vorzeichen durch das Vorzeichen des mittleren Terms des trinomischen Quadrats bestimmt wird.

$$\left(7v+8\right)^{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$49v^{2}+112v+64=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$v=\frac{-112±\sqrt{112^{2}-4\times 49\times 64}}{2\times 49}$$

112 zum Quadrat.

$$v=\frac{-112±\sqrt{12544-4\times 49\times 64}}{2\times 49}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 49.

$$v=\frac{-112±\sqrt{12544-196\times 64}}{2\times 49}$$

Multiplizieren Sie -196 mit 64.

$$v=\frac{-112±\sqrt{12544-12544}}{2\times 49}$$

Addieren Sie 12544 zu -12544.

$$v=\frac{-112±\sqrt{0}}{2\times 49}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 0.

$$v=\frac{-112±0}{2\times 49}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 49.

$$v=\frac{-112±0}{98}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} -\frac{8}{7} und für x_{2} -\frac{8}{7} ein.

$$49v^{2}+112v+64=49\left(v-\left(-\frac{8}{7}\right)\right)\left(v-\left(-\frac{8}{7}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$49v^{2}+112v+64=49\left(v+\frac{8}{7}\right)\left(v+\frac{8}{7}\right)$$

Addieren Sie \frac{8}{7} zu v, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$49v^{2}+112v+64=49\times \frac{7v+8}{7}\left(v+\frac{8}{7}\right)$$

Addieren Sie \frac{8}{7} zu v, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$49v^{2}+112v+64=49\times \frac{7v+8}{7}\times \frac{7v+8}{7}$$

Multiplizieren Sie \frac{7v+8}{7} mit \frac{7v+8}{7}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$49v^{2}+112v+64=49\times \frac{\left(7v+8\right)\left(7v+8\right)}{7\times 7}$$

Multiplizieren Sie 7 mit 7.

$$49v^{2}+112v+64=49\times \frac{\left(7v+8\right)\left(7v+8\right)}{49}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 49 in 49 und 49 aufheben.

$$49v^{2}+112v+64=\left(7v+8\right)\left(7v+8\right)$$

Auswerten

$$\left(7v+8\right)^{2}$$