49n^2+168n+144 lösen

$$49 n ^ { 2 } + 168 n + 144$$

Faktorisieren

$$\left(7n+12\right)^{2}$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 49n^{2}+an+bn+144 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=168 ab=49\times 144=7056$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 7056 ergeben.

$$1,7056 2,3528 3,2352 4,1764 6,1176 7,1008 8,882 9,784 12,588 14,504 16,441 18,392 21,336 24,294 28,252 36,196 42,168 48,147 49,144 56,126 63,112 72,98 84,84$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+7056=7057 2+3528=3530 3+2352=2355 4+1764=1768 6+1176=1182 7+1008=1015 8+882=890 9+784=793 12+588=600 14+504=518 16+441=457 18+392=410 21+336=357 24+294=318 28+252=280 36+196=232 42+168=210 48+147=195 49+144=193 56+126=182 63+112=175 72+98=170 84+84=168$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 168 ergibt.

$$a=84 b=84$$

49n^{2}+168n+144 als \left(49n^{2}+84n\right)+\left(84n+144\right) umschreiben.

$$\left(49n^{2}+84n\right)+\left(84n+144\right)$$

Klammern Sie 7n in der ersten und 12 in der zweiten Gruppe aus.

$$7n\left(7n+12\right)+12\left(7n+12\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 7n+12 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(7n+12\right)\left(7n+12\right)$$

Umschreiben als binomisches Quadrat.

$$\left(7n+12\right)^{2}$$

Schritte unter Verwendung des Quadrats von Binomen

Dieses Trinom hat die Form eines trinomischen Quadrats, möglicherweise mit einem gemeinsamen Faktor multipliziert. Trinomische Quadrate können durch Finden der Quadratwurzeln des führenden und des schließenden Terms in Faktoren zerlegt werden.

$$factor(49n^{2}+168n+144)$$

Suchen Sie den größten gemeinsamen Faktor der Koeffizienten.

$$gcf(49,168,144)=1$$

Suchen Sie die Quadratwurzel des führenden Terms 49n^{2}.

$$\sqrt{49n^{2}}=7n$$

Suchen Sie die Quadratwurzel des schließenden Terms 144.

$$\sqrt{144}=12$$

Das trinomische Quadrat ist das Quadrat des Binoms, das die Summe oder Differenz der Quadratwurzeln des führenden und des schließenden Terms ist, wodurch das Vorzeichen durch das Vorzeichen des mittleren Terms des trinomischen Quadrats bestimmt wird.

$$\left(7n+12\right)^{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$49n^{2}+168n+144=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$n=\frac{-168±\sqrt{168^{2}-4\times 49\times 144}}{2\times 49}$$

168 zum Quadrat.

$$n=\frac{-168±\sqrt{28224-4\times 49\times 144}}{2\times 49}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 49.

$$n=\frac{-168±\sqrt{28224-196\times 144}}{2\times 49}$$

Multiplizieren Sie -196 mit 144.

$$n=\frac{-168±\sqrt{28224-28224}}{2\times 49}$$

Addieren Sie 28224 zu -28224.

$$n=\frac{-168±\sqrt{0}}{2\times 49}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 0.

$$n=\frac{-168±0}{2\times 49}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 49.

$$n=\frac{-168±0}{98}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} -\frac{12}{7} und für x_{2} -\frac{12}{7} ein.

$$49n^{2}+168n+144=49\left(n-\left(-\frac{12}{7}\right)\right)\left(n-\left(-\frac{12}{7}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$49n^{2}+168n+144=49\left(n+\frac{12}{7}\right)\left(n+\frac{12}{7}\right)$$

Addieren Sie \frac{12}{7} zu n, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$49n^{2}+168n+144=49\times \frac{7n+12}{7}\left(n+\frac{12}{7}\right)$$

Addieren Sie \frac{12}{7} zu n, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$49n^{2}+168n+144=49\times \frac{7n+12}{7}\times \frac{7n+12}{7}$$

Multiplizieren Sie \frac{7n+12}{7} mit \frac{7n+12}{7}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$49n^{2}+168n+144=49\times \frac{\left(7n+12\right)\left(7n+12\right)}{7\times 7}$$

Multiplizieren Sie 7 mit 7.

$$49n^{2}+168n+144=49\times \frac{\left(7n+12\right)\left(7n+12\right)}{49}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 49 in 49 und 49 aufheben.

$$49n^{2}+168n+144=\left(7n+12\right)\left(7n+12\right)$$

Auswerten

$$\left(7n+12\right)^{2}$$