419x^2-918x+459=0 lösen

$$419 x ^ { 2 } - 918 x + 459 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{6 \sqrt{510} + 459}{419} \approx 1,418852214$$

$$x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}\approx 0,772078574$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$419x^{2}-918x+459=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 419, b durch -918 und c durch 459, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{\left(-918\right)^{2}-4\times 419\times 459}}{2\times 419}$$

-918 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{842724-4\times 419\times 459}}{2\times 419}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 419.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{842724-1676\times 459}}{2\times 419}$$

Multiplizieren Sie -1676 mit 459.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{842724-769284}}{2\times 419}$$

Addieren Sie 842724 zu -769284.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{73440}}{2\times 419}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 73440.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±12\sqrt{510}}{2\times 419}$$

Das Gegenteil von -918 ist 918.

$$x=\frac{918±12\sqrt{510}}{2\times 419}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 419.

$$x=\frac{918±12\sqrt{510}}{838}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{918±12\sqrt{510}}{838}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 918 zu 12\sqrt{510}.

$$x=\frac{12\sqrt{510}+918}{838}$$

Dividieren Sie 918+12\sqrt{510} durch 838.

$$x=\frac{6\sqrt{510}+459}{419}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{918±12\sqrt{510}}{838}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 12\sqrt{510} von 918.

$$x=\frac{918-12\sqrt{510}}{838}$$

Dividieren Sie 918-12\sqrt{510} durch 838.

$$x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{6\sqrt{510}+459}{419} x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$419x^{2}-918x+459=0$$

459 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$419x^{2}-918x+459-459=-459$$

Die Subtraktion von 459 von sich selbst ergibt 0.

$$419x^{2}-918x=-459$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 419.

$$\frac{419x^{2}-918x}{419}=-\frac{459}{419}$$

Division durch 419 macht die Multiplikation mit 419 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{918}{419}x=-\frac{459}{419}$$

Dividieren Sie -\frac{918}{419}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{459}{419} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{459}{419} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{918}{419}x+\left(-\frac{459}{419}\right)^{2}=-\frac{459}{419}+\left(-\frac{459}{419}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{459}{419}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{918}{419}x+\frac{210681}{175561}=-\frac{459}{419}+\frac{210681}{175561}$$

Addieren Sie -\frac{459}{419} zu \frac{210681}{175561}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{918}{419}x+\frac{210681}{175561}=\frac{18360}{175561}$$

Faktor x^{2}-\frac{918}{419}x+\frac{210681}{175561}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{459}{419}\right)^{2}=\frac{18360}{175561}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{459}{419}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18360}{175561}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{459}{419}=\frac{6\sqrt{510}}{419} x-\frac{459}{419}=-\frac{6\sqrt{510}}{419}$$

Addieren Sie \frac{459}{419} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{6\sqrt{510}+459}{419} x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}$$