40x+2x(30-2x)=200 lösen

$$40x+2x(30-2x)=200$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{5 \sqrt{17} + 25}{2} \approx 22,807764064$$

$$x = \frac{25 - 5 \sqrt{17}}{2} \approx 2,192235936$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2x mit 30-2x zu multiplizieren.

$$40x+60x-4x^{2}=200$$

Kombinieren Sie 40x und 60x, um 100x zu erhalten.

$$100x-4x^{2}=200$$

Subtrahieren Sie 200 von beiden Seiten.

$$100x-4x^{2}-200=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-4x^{2}+100x-200=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -4, b durch 100 und c durch -200, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-100±\sqrt{100^{2}-4\left(-4\right)\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

100 zum Quadrat.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-4\left(-4\right)\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -4.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000+16\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplizieren Sie 16 mit -200.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-3200}}{2\left(-4\right)}$$

Addieren Sie 10000 zu -3200.

$$x=\frac{-100±\sqrt{6800}}{2\left(-4\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 6800.

$$x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -4.

$$x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -100 zu 20\sqrt{17}.

$$x=\frac{20\sqrt{17}-100}{-8}$$

Dividieren Sie -100+20\sqrt{17} durch -8.

$$x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 20\sqrt{17} von -100.

$$x=\frac{-20\sqrt{17}-100}{-8}$$

Dividieren Sie -100-20\sqrt{17} durch -8.

$$x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2} x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2x mit 30-2x zu multiplizieren.

$$40x+60x-4x^{2}=200$$

Kombinieren Sie 40x und 60x, um 100x zu erhalten.

$$100x-4x^{2}=200$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-4x^{2}+100x=200$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -4.

$$\frac{-4x^{2}+100x}{-4}=\frac{200}{-4}$$

Division durch -4 macht die Multiplikation mit -4 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{100}{-4}x=\frac{200}{-4}$$

Dividieren Sie 100 durch -4.

$$x^{2}-25x=\frac{200}{-4}$$

Dividieren Sie 200 durch -4.

$$x^{2}-25x=-50$$

Dividieren Sie -25, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{25}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{25}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-25x+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-50+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{25}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-50+\frac{625}{4}$$

Addieren Sie -50 zu \frac{625}{4}.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=\frac{425}{4}$$

Faktor x^{2}-25x+\frac{625}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{425}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{425}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{25}{2}=\frac{5\sqrt{17}}{2} x-\frac{25}{2}=-\frac{5\sqrt{17}}{2}$$

Addieren Sie \frac{25}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2} x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2}$$