4x^2-5x-1=0 lösen

$$4 x ^ { 2 } - 5 x - 1 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{41} + 5}{8} \approx 1,42539053$$

$$x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}\approx -0,17539053$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4x^{2}-5x-1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch -5 und c durch -1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

-5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+16}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 25 zu 16.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{41}}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -5 ist 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{41}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{5±\sqrt{41}}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±\sqrt{41}}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 5 zu \sqrt{41}.

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±\sqrt{41}}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{41} von 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8} x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4x^{2}-5x-1=0$$

Addieren Sie 1 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$4x^{2}-5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Die Subtraktion von -1 von sich selbst ergibt 0.

$$4x^{2}-5x=-\left(-1\right)$$

Subtrahieren Sie -1 von 0.

$$4x^{2}-5x=1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=\frac{1}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=\frac{1}{4}$$

Dividieren Sie -\frac{5}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Addieren Sie \frac{1}{4} zu \frac{25}{64}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{41}{64}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{41}{64}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{64}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{\sqrt{41}}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{\sqrt{41}}{8}$$

Addieren Sie \frac{5}{8} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8} x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$