4x^2-2x-18=0 lösen

$$4 x ^ { 2 } - 2 x - 18 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{73} + 1}{4} \approx 2,386000936$$

$$x=\frac{1-\sqrt{73}}{4}\approx -1,886000936$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4x^{2}-2x-18=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch -2 und c durch -18, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\left(-18\right)}}{2\times 4}$$

-2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\left(-18\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\left(-18\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -18.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+288}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 4 zu 288.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{292}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 292.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{73}}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -2 ist 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{73}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{2±2\sqrt{73}}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±2\sqrt{73}}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 2 zu 2\sqrt{73}.

$$x=\frac{2\sqrt{73}+2}{8}$$

Dividieren Sie 2+2\sqrt{73} durch 8.

$$x=\frac{\sqrt{73}+1}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±2\sqrt{73}}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{73} von 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{73}}{8}$$

Dividieren Sie 2-2\sqrt{73} durch 8.

$$x=\frac{1-\sqrt{73}}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{73}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{73}}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4x^{2}-2x-18=0$$

Addieren Sie 18 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$4x^{2}-2x-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

Die Subtraktion von -18 von sich selbst ergibt 0.

$$4x^{2}-2x=-\left(-18\right)$$

Subtrahieren Sie -18 von 0.

$$4x^{2}-2x=18$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}-2x}{4}=\frac{18}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{4}\right)x=\frac{18}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-2}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{18}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{18}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2}$$

Dividieren Sie -\frac{1}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{9}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{9}{2}+\frac{1}{16}$$

Addieren Sie \frac{9}{2} zu \frac{1}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{73}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{73}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{73}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{73}}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{73}}{4}$$

Addieren Sie \frac{1}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{73}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{73}}{4}$$