4x^2-13x+10 lösen

$$4 x ^ { 2 } - 13 x + 10$$

Faktorisieren

$$\left(x-2\right)\left(4x-5\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 4x^{2}+ax+bx+10 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-13 ab=4\times 10=40$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 40 ergeben.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -13 ergibt.

$$a=-8 b=-5$$

4x^{2}-13x+10 als \left(4x^{2}-8x\right)+\left(-5x+10\right) umschreiben.

$$\left(4x^{2}-8x\right)+\left(-5x+10\right)$$

Klammern Sie 4x in der ersten und -5 in der zweiten Gruppe aus.

$$4x\left(x-2\right)-5\left(x-2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-2\right)\left(4x-5\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$4x^{2}-13x+10=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

-13 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-16\times 10}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit 10.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-160}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 169 zu -160.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{9}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 9.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±3}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -13 ist 13.

$$x=\frac{13±3}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{13±3}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{13±3}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 13 zu 3.

$$x=\frac{16}{8}$$

Dividieren Sie 16 durch 8.

$$x=2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{13±3}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 3 von 13.

$$x=\frac{10}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{10}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{5}{4}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 2 und für x_{2} \frac{5}{4} ein.

$$4x^{2}-13x+10=4\left(x-2\right)\left(x-\frac{5}{4}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{5}{4} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$4x^{2}-13x+10=4\left(x-2\right)\times \frac{4x-5}{4}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 4 in 4 und 4 aufheben.

$$4x^{2}-13x+10=\left(x-2\right)\left(4x-5\right)$$

Auswerten

$$\left(x-2\right)\left(4x-5\right)$$