4x^2+28x+53=0 lösen

$$4 x ^ { 2 } + 28 x + 53 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=-\frac{7}{2}+i=-3,5+i$$

$$x=-\frac{7}{2}-i=-3,5-i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4x^{2}+28x+53=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch 28 und c durch 53, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 4\times 53}}{2\times 4}$$

28 zum Quadrat.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 4\times 53}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-16\times 53}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit 53.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-848}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 784 zu -848.

$$x=\frac{-28±\sqrt{-64}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -64.

$$x=\frac{-28±8i}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{-28±8i}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-28±8i}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -28 zu 8i.

$$x=\frac{-28+8i}{8}$$

Dividieren Sie -28+8i durch 8.

$$x=-\frac{7}{2}+i$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-28±8i}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 8i von -28.

$$x=\frac{-28-8i}{8}$$

Dividieren Sie -28-8i durch 8.

$$x=-\frac{7}{2}-i$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\frac{7}{2}+i x=-\frac{7}{2}-i$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4x^{2}+28x+53=0$$

53 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$4x^{2}+28x+53-53=-53$$

Die Subtraktion von 53 von sich selbst ergibt 0.

$$4x^{2}+28x=-53$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}+28x}{4}=-\frac{53}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{28}{4}x=-\frac{53}{4}$$

Dividieren Sie 28 durch 4.

$$x^{2}+7x=-\frac{53}{4}$$

Dividieren Sie 7, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{7}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{7}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-\frac{53}{4}+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{7}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{-53+49}{4}$$

Addieren Sie -\frac{53}{4} zu \frac{49}{4}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-1$$

Faktor x^{2}+7x+\frac{49}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=-1$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{7}{2}=i x+\frac{7}{2}=-i$$

\frac{7}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=-\frac{7}{2}+i x=-\frac{7}{2}-i$$