4x^2+2x+1=21 lösen

$$4 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 21$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=2$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 21 von beiden Seiten.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

Subtrahieren Sie 21 von 1, um -20 zu erhalten.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$2x^{2}+x-10=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 2x^{2}+ax+bx-10 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=1 ab=2\left(-10\right)=-20$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -20 ergeben.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 1 ergibt.

$$a=-4 b=5$$

2x^{2}+x-10 als \left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right) umschreiben.

$$\left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(x-2\right)+5\left(x-2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-2\right)\left(2x+5\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-2=0 und 2x+5=0.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

21 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$4x^{2}+2x+1-21=21-21$$

Die Subtraktion von 21 von sich selbst ergibt 0.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

Subtrahieren Sie 21 von 1.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch 2 und c durch -20, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -20.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+320}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 4 zu 320.

$$x=\frac{-2±\sqrt{324}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 324.

$$x=\frac{-2±18}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{-2±18}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±18}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -2 zu 18.

$$x=\frac{16}{8}$$

Dividieren Sie 16 durch 8.

$$x=2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±18}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 18 von -2.

$$x=-\frac{20}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-20}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$4x^{2}+2x+1-1=21-1$$

Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.

$$4x^{2}+2x=21-1$$

Subtrahieren Sie 1 von 21.

$$4x^{2}+2x=20$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}+2x}{4}=\frac{20}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{2}{4}x=\frac{20}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{2}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{20}{4}$$

Dividieren Sie 20 durch 4.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=5$$

Dividieren Sie \frac{1}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=5+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=5+\frac{1}{16}$$

Addieren Sie 5 zu \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{81}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$$

\frac{1}{4} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$