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4x+102=-60x+120x^{2}
Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -20x mit 3-6x zu multiplizieren.
4x+102+60x=120x^{2}
Auf beiden Seiten 60x addieren.
64x+102=120x^{2}
Kombinieren Sie 4x und 60x, um 64x zu erhalten.
64x+102-120x^{2}=0
Subtrahieren Sie 120x^{2} von beiden Seiten.
-120x^{2}+64x+102=0
Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.
x=\frac{-64±\sqrt{64^{2}-4\left(-120\right)\times 102}}{2\left(-120\right)}
Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -120, b durch 64 und c durch 102, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
x=\frac{-64±\sqrt{4096-4\left(-120\right)\times 102}}{2\left(-120\right)}
64 zum Quadrat.
x=\frac{-64±\sqrt{4096+480\times 102}}{2\left(-120\right)}
Multiplizieren Sie -4 mit -120.
x=\frac{-64±\sqrt{4096+48960}}{2\left(-120\right)}
Multiplizieren Sie 480 mit 102.
x=\frac{-64±\sqrt{53056}}{2\left(-120\right)}
Addieren Sie 4096 zu 48960.
x=\frac{-64±8\sqrt{829}}{2\left(-120\right)}
Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 53056.
x=\frac{-64±8\sqrt{829}}{-240}
Multiplizieren Sie 2 mit -120.
x=\frac{8\sqrt{829}-64}{-240}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-64±8\sqrt{829}}{-240}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -64 zu 8\sqrt{829}.
x=-\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15}
Dividieren Sie -64+8\sqrt{829} durch -240.
x=\frac{-8\sqrt{829}-64}{-240}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-64±8\sqrt{829}}{-240}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 8\sqrt{829} von -64.
x=\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15}
Dividieren Sie -64-8\sqrt{829} durch -240.
x=-\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15} x=\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15}
Die Gleichung ist jetzt gelöst.
4x+102=-60x+120x^{2}
Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -20x mit 3-6x zu multiplizieren.
4x+102+60x=120x^{2}
Auf beiden Seiten 60x addieren.
64x+102=120x^{2}
Kombinieren Sie 4x und 60x, um 64x zu erhalten.
64x+102-120x^{2}=0
Subtrahieren Sie 120x^{2} von beiden Seiten.
64x-120x^{2}=-102
Subtrahieren Sie 102 von beiden Seiten. Jede Subtraktion von null ergibt ihre Negation.
-120x^{2}+64x=-102
Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.
\frac{-120x^{2}+64x}{-120}=-\frac{102}{-120}
Dividieren Sie beide Seiten durch -120.
x^{2}+\frac{64}{-120}x=-\frac{102}{-120}
Division durch -120 macht die Multiplikation mit -120 rückgängig.
x^{2}-\frac{8}{15}x=-\frac{102}{-120}
Verringern Sie den Bruch \frac{64}{-120} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.
x^{2}-\frac{8}{15}x=\frac{17}{20}
Verringern Sie den Bruch \frac{-102}{-120} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.
x^{2}-\frac{8}{15}x+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}=\frac{17}{20}+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}
Dividieren Sie -\frac{8}{15}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{4}{15} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{4}{15} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.
x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=\frac{17}{20}+\frac{16}{225}
Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{4}{15}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.
x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=\frac{829}{900}
Addieren Sie \frac{17}{20} zu \frac{16}{225}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.
\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}=\frac{829}{900}
Faktor x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.
\sqrt{\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{829}{900}}
Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.
x-\frac{4}{15}=\frac{\sqrt{829}}{30} x-\frac{4}{15}=-\frac{\sqrt{829}}{30}
Vereinfachen.
x=\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15} x=-\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15}
Addieren Sie \frac{4}{15} zu beiden Seiten der Gleichung.