4y^2-4y-8=0 lösen

$$4 { y }^{ 2 } -4y-8=0$$

Nach y auflösen

$$y=-1$$

$$y=2$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$y^{2}-y-2=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als y^{2}+ay+by-2 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Das einzige derartige Paar ist die Lösung des Systems.

$$a=-2 b=1$$

y^{2}-y-2 als \left(y^{2}-2y\right)+\left(y-2\right) umschreiben.

$$\left(y^{2}-2y\right)+\left(y-2\right)$$

Klammern Sie y in y^{2}-2y aus.

$$y\left(y-2\right)+y-2$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term y-2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(y-2\right)\left(y+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie y-2=0 und y+1=0.

$$y=2 y=-1$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4y^{2}-4y-8=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch -4 und c durch -8, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

-4 zum Quadrat.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -8.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+128}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 16 zu 128.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 144.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±12}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -4 ist 4.

$$y=\frac{4±12}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$y=\frac{4±12}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{4±12}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 4 zu 12.

$$y=\frac{16}{8}$$

Dividieren Sie 16 durch 8.

$$y=2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{4±12}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 12 von 4.

$$y=-\frac{8}{8}$$

Dividieren Sie -8 durch 8.

$$y=-1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$y=2 y=-1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4y^{2}-4y-8=0$$

Addieren Sie 8 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$4y^{2}-4y-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Die Subtraktion von -8 von sich selbst ergibt 0.

$$4y^{2}-4y=-\left(-8\right)$$

Subtrahieren Sie -8 von 0.

$$4y^{2}-4y=8$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4y^{2}-4y}{4}=\frac{8}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$y^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)y=\frac{8}{4}$$

Dividieren Sie -4 durch 4.

$$y^{2}-y=\frac{8}{4}$$

Dividieren Sie 8 durch 4.

$$y^{2}-y=2$$

Dividieren Sie -1, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$y^{2}-y+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Addieren Sie 2 zu \frac{1}{4}.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktor y^{2}-y+\frac{1}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Vereinfachen.

$$y-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$y=2 y=-1$$