4x^2-3x-7 lösen

$$4 { x }^{ 2 } -3x-7$$

Faktorisieren

$$\left(4x-7\right)\left(x+1\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 4x^{2}+ax+bx-7 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-3 ab=4\left(-7\right)=-28$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -28 ergeben.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -3 ergibt.

$$a=-7 b=4$$

4x^{2}-3x-7 als \left(4x^{2}-7x\right)+\left(4x-7\right) umschreiben.

$$\left(4x^{2}-7x\right)+\left(4x-7\right)$$

Klammern Sie x in 4x^{2}-7x aus.

$$x\left(4x-7\right)+4x-7$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 4x-7 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(4x-7\right)\left(x+1\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$4x^{2}-3x-7=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 4\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

-3 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 4\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-16\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -7.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+112}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 9 zu 112.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{121}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 121.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±11}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -3 ist 3.

$$x=\frac{3±11}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{3±11}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{3±11}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 3 zu 11.

$$x=\frac{14}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{14}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{7}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{3±11}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 11 von 3.

$$x=-\frac{8}{8}$$

Dividieren Sie -8 durch 8.

$$x=-1$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{7}{4} und für x_{2} -1 ein.

$$4x^{2}-3x-7=4\left(x-\frac{7}{4}\right)\left(x-\left(-1\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$4x^{2}-3x-7=4\left(x-\frac{7}{4}\right)\left(x+1\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{7}{4} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$4x^{2}-3x-7=4\times \frac{4x-7}{4}\left(x+1\right)$$

Den größten gemeinsamen Faktor 4 in 4 und 4 aufheben.

$$4x^{2}-3x-7=\left(4x-7\right)\left(x+1\right)$$

Auswerten

$$\left(4x-7\right)\left(x+1\right)$$