4x^2+4x-7=900 lösen

$$4 { x }^{ 2 } +4x-7=900$$

Nach x auflösen

$$x=\sqrt{227}-\frac{1}{2}\approx 14,566519173$$

$$x=-\sqrt{227}-\frac{1}{2}\approx -15,566519173$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4x^{2}+4x-7=900$$

900 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$4x^{2}+4x-7-900=900-900$$

Die Subtraktion von 900 von sich selbst ergibt 0.

$$4x^{2}+4x-7-900=0$$

Subtrahieren Sie 900 von -7.

$$4x^{2}+4x-907=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch 4 und c durch -907, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-907\right)}}{2\times 4}$$

4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-907\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-907\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -907.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+14512}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 16 zu 14512.

$$x=\frac{-4±\sqrt{14528}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 14528.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{227}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{227}}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±8\sqrt{227}}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -4 zu 8\sqrt{227}.

$$x=\frac{8\sqrt{227}-4}{8}$$

Dividieren Sie -4+8\sqrt{227} durch 8.

$$x=\sqrt{227}-\frac{1}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±8\sqrt{227}}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 8\sqrt{227} von -4.

$$x=\frac{-8\sqrt{227}-4}{8}$$

Dividieren Sie -4-8\sqrt{227} durch 8.

$$x=-\sqrt{227}-\frac{1}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\sqrt{227}-\frac{1}{2} x=-\sqrt{227}-\frac{1}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4x^{2}+4x-7=900$$

Addieren Sie 7 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$4x^{2}+4x-7-\left(-7\right)=900-\left(-7\right)$$

Die Subtraktion von -7 von sich selbst ergibt 0.

$$4x^{2}+4x=900-\left(-7\right)$$

Subtrahieren Sie -7 von 900.

$$4x^{2}+4x=907$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{907}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{907}{4}$$

Dividieren Sie 4 durch 4.

$$x^{2}+x=\frac{907}{4}$$

Dividieren Sie 1, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{907}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{907+1}{4}$$

Addieren Sie \frac{907}{4} zu \frac{1}{4}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=227$$

Faktor x^{2}+x+\frac{1}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=227$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{227}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{1}{2}=\sqrt{227} x+\frac{1}{2}=-\sqrt{227}$$

\frac{1}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\sqrt{227}-\frac{1}{2} x=-\sqrt{227}-\frac{1}{2}$$