4x^2+19x-30 lösen

$$4 { x }^{ 2 } +19x-30$$

Faktorisieren

$$\left(4x-5\right)\left(x+6\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 4x^{2}+ax+bx-30 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=19 ab=4\left(-30\right)=-120$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -120 ergeben.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 19 ergibt.

$$a=-5 b=24$$

4x^{2}+19x-30 als \left(4x^{2}-5x\right)+\left(24x-30\right) umschreiben.

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(24x-30\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 6 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(4x-5\right)+6\left(4x-5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 4x-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(4x-5\right)\left(x+6\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$4x^{2}+19x-30=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 4\left(-30\right)}}{2\times 4}$$

19 zum Quadrat.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 4\left(-30\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-16\left(-30\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -30.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+480}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 361 zu 480.

$$x=\frac{-19±\sqrt{841}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 841.

$$x=\frac{-19±29}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{-19±29}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-19±29}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -19 zu 29.

$$x=\frac{10}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{10}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{5}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-19±29}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 29 von -19.

$$x=-\frac{48}{8}$$

Dividieren Sie -48 durch 8.

$$x=-6$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{5}{4} und für x_{2} -6 ein.

$$4x^{2}+19x-30=4\left(x-\frac{5}{4}\right)\left(x-\left(-6\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$4x^{2}+19x-30=4\left(x-\frac{5}{4}\right)\left(x+6\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{5}{4} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$4x^{2}+19x-30=4\times \frac{4x-5}{4}\left(x+6\right)$$

Den größten gemeinsamen Faktor 4 in 4 und 4 aufheben.

$$4x^{2}+19x-30=\left(4x-5\right)\left(x+6\right)$$

Auswerten

$$\left(4x-5\right)\left(x+6\right)$$