3x(x-5)+16=-x lösen

$$3x(x-5)+16=-x$$

Nach x auflösen

$$x=2$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3x mit x-5 zu multiplizieren.

$$3x^{2}-15x+16=-x$$

Auf beiden Seiten x addieren.

$$3x^{2}-15x+16+x=0$$

Kombinieren Sie -15x und x, um -14x zu erhalten.

$$3x^{2}-14x+16=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3x^{2}+ax+bx+16 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-14 ab=3\times 16=48$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 48 ergeben.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -14 ergibt.

$$a=-8 b=-6$$

3x^{2}-14x+16 als \left(3x^{2}-8x\right)+\left(-6x+16\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}-8x\right)+\left(-6x+16\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und -2 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(3x-8\right)-2\left(3x-8\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x-8 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x-8\right)\left(x-2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3x-8=0 und x-2=0.

$$x=\frac{8}{3} x=2$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3x mit x-5 zu multiplizieren.

$$3x^{2}-15x+16=-x$$

Auf beiden Seiten x addieren.

$$3x^{2}-15x+16+x=0$$

Kombinieren Sie -15x und x, um -14x zu erhalten.

$$3x^{2}-14x+16=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -14 und c durch 16, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

-14 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-12\times 16}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit 16.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-192}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 196 zu -192.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 4.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -14 ist 14.

$$x=\frac{14±2}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{14±2}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{14±2}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 14 zu 2.

$$x=\frac{16}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{16}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{8}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{14±2}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2 von 14.

$$x=\frac{12}{6}$$

Dividieren Sie 12 durch 6.

$$x=2$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{8}{3} x=2$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3x mit x-5 zu multiplizieren.

$$3x^{2}-15x+16=-x$$

Auf beiden Seiten x addieren.

$$3x^{2}-15x+16+x=0$$

Kombinieren Sie -15x und x, um -14x zu erhalten.

$$3x^{2}-14x+16=0$$

Subtrahieren Sie 16 von beiden Seiten. Jede Subtraktion von null ergibt ihre Negation.

$$3x^{2}-14x=-16$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}-14x}{3}=-\frac{16}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x=-\frac{16}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{14}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{7}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{7}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x+\left(-\frac{7}{3}\right)^{2}=-\frac{16}{3}+\left(-\frac{7}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{7}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=-\frac{16}{3}+\frac{49}{9}$$

Addieren Sie -\frac{16}{3} zu \frac{49}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{1}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{7}{3}=\frac{1}{3} x-\frac{7}{3}=-\frac{1}{3}$$

Addieren Sie \frac{7}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{8}{3} x=2$$