37x^2-70x+25=0 lösen

$$37 x ^ { 2 } - 70 x + 25 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{10 \sqrt{3} + 35}{37} \approx 1,414067786$$

$$x=\frac{35-10\sqrt{3}}{37}\approx 0,477824106$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$37x^{2}-70x+25=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 37, b durch -70 und c durch 25, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{\left(-70\right)^{2}-4\times 37\times 25}}{2\times 37}$$

-70 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-4\times 37\times 25}}{2\times 37}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 37.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-148\times 25}}{2\times 37}$$

Multiplizieren Sie -148 mit 25.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-3700}}{2\times 37}$$

Addieren Sie 4900 zu -3700.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{1200}}{2\times 37}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1200.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±20\sqrt{3}}{2\times 37}$$

Das Gegenteil von -70 ist 70.

$$x=\frac{70±20\sqrt{3}}{2\times 37}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 37.

$$x=\frac{70±20\sqrt{3}}{74}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{70±20\sqrt{3}}{74}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 70 zu 20\sqrt{3}.

$$x=\frac{20\sqrt{3}+70}{74}$$

Dividieren Sie 70+20\sqrt{3} durch 74.

$$x=\frac{10\sqrt{3}+35}{37}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{70±20\sqrt{3}}{74}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 20\sqrt{3} von 70.

$$x=\frac{70-20\sqrt{3}}{74}$$

Dividieren Sie 70-20\sqrt{3} durch 74.

$$x=\frac{35-10\sqrt{3}}{37}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{10\sqrt{3}+35}{37} x=\frac{35-10\sqrt{3}}{37}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$37x^{2}-70x+25=0$$

25 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$37x^{2}-70x+25-25=-25$$

Die Subtraktion von 25 von sich selbst ergibt 0.

$$37x^{2}-70x=-25$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 37.

$$\frac{37x^{2}-70x}{37}=-\frac{25}{37}$$

Division durch 37 macht die Multiplikation mit 37 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{70}{37}x=-\frac{25}{37}$$

Dividieren Sie -\frac{70}{37}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{35}{37} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{35}{37} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{70}{37}x+\left(-\frac{35}{37}\right)^{2}=-\frac{25}{37}+\left(-\frac{35}{37}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{35}{37}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{70}{37}x+\frac{1225}{1369}=-\frac{25}{37}+\frac{1225}{1369}$$

Addieren Sie -\frac{25}{37} zu \frac{1225}{1369}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{70}{37}x+\frac{1225}{1369}=\frac{300}{1369}$$

Faktor x^{2}-\frac{70}{37}x+\frac{1225}{1369}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{35}{37}\right)^{2}=\frac{300}{1369}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{35}{37}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{300}{1369}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{35}{37}=\frac{10\sqrt{3}}{37} x-\frac{35}{37}=-\frac{10\sqrt{3}}{37}$$

Addieren Sie \frac{35}{37} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{10\sqrt{3}+35}{37} x=\frac{35-10\sqrt{3}}{37}$$