30+13x-3x^2 lösen

$$30 + 13 x - 3 x ^ { 2 }$$

Faktorisieren

$$\left(6-x\right)\left(3x+5\right)$$

Lösungsschritte

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$-3x^{2}+13x+30$$

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als -3x^{2}+ax+bx+30 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=13 ab=-3\times 30=-90$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -90 ergeben.

$$-1,90 -2,45 -3,30 -5,18 -6,15 -9,10$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+90=89 -2+45=43 -3+30=27 -5+18=13 -6+15=9 -9+10=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 13 ergibt.

$$a=18 b=-5$$

-3x^{2}+13x+30 als \left(-3x^{2}+18x\right)+\left(-5x+30\right) umschreiben.

$$\left(-3x^{2}+18x\right)+\left(-5x+30\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(-x+6\right)+5\left(-x+6\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term -x+6 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(-x+6\right)\left(3x+5\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$-3x^{2}+13x+30=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-3\right)\times 30}}{2\left(-3\right)}$$

13 zum Quadrat.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-3\right)\times 30}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -3.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+12\times 30}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 12 mit 30.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+360}}{2\left(-3\right)}$$

Addieren Sie 169 zu 360.

$$x=\frac{-13±\sqrt{529}}{2\left(-3\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 529.

$$x=\frac{-13±23}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -3.

$$x=\frac{-13±23}{-6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-13±23}{-6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -13 zu 23.

$$x=\frac{10}{-6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{10}{-6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-13±23}{-6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 23 von -13.

$$x=-\frac{36}{-6}$$

Dividieren Sie -36 durch -6.

$$x=6$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} -\frac{5}{3} und für x_{2} 6 ein.

$$-3x^{2}+13x+30=-3\left(x-\left(-\frac{5}{3}\right)\right)\left(x-6\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$-3x^{2}+13x+30=-3\left(x+\frac{5}{3}\right)\left(x-6\right)$$

Addieren Sie \frac{5}{3} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$-3x^{2}+13x+30=-3\times \frac{-3x-5}{-3}\left(x-6\right)$$

Den größten gemeinsamen Faktor 3 in -3 und 3 aufheben.

$$-3x^{2}+13x+30=\left(-3x-5\right)\left(x-6\right)$$

Auswerten

$$\left(6-x\right)\left(3x+5\right)$$