3z^2+16z+20 lösen

$$3 z ^ { 2 } + 16 z + 20$$

Faktorisieren

$$\left(z+2\right)\left(3z+10\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 3z^{2}+az+bz+20 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=16 ab=3\times 20=60$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 60 ergeben.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 16 ergibt.

$$a=6 b=10$$

3z^{2}+16z+20 als \left(3z^{2}+6z\right)+\left(10z+20\right) umschreiben.

$$\left(3z^{2}+6z\right)+\left(10z+20\right)$$

Klammern Sie 3z in der ersten und 10 in der zweiten Gruppe aus.

$$3z\left(z+2\right)+10\left(z+2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term z+2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(z+2\right)\left(3z+10\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$3z^{2}+16z+20=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$z=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\times 20}}{2\times 3}$$

16 zum Quadrat.

$$z=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\times 20}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$z=\frac{-16±\sqrt{256-12\times 20}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit 20.

$$z=\frac{-16±\sqrt{256-240}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 256 zu -240.

$$z=\frac{-16±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 16.

$$z=\frac{-16±4}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$z=\frac{-16±4}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung z=\frac{-16±4}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -16 zu 4.

$$z=-\frac{12}{6}$$

Dividieren Sie -12 durch 6.

$$z=-2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung z=\frac{-16±4}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4 von -16.

$$z=-\frac{20}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-20}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$z=-\frac{10}{3}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} -2 und für x_{2} -\frac{10}{3} ein.

$$3z^{2}+16z+20=3\left(z-\left(-2\right)\right)\left(z-\left(-\frac{10}{3}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$3z^{2}+16z+20=3\left(z+2\right)\left(z+\frac{10}{3}\right)$$

Addieren Sie \frac{10}{3} zu z, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$3z^{2}+16z+20=3\left(z+2\right)\times \frac{3z+10}{3}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 3 in 3 und 3 aufheben.

$$3z^{2}+16z+20=\left(z+2\right)\left(3z+10\right)$$

Auswerten

$$\left(z+2\right)\left(3z+10\right)$$