3x^4+24x^3+48x^2-x^2-8x-16 lösen

$$3 x ^ { 4 } + 24 x ^ { 3 } + 48 x ^ { 2 } - x ^ { 2 } - 8 x - 16$$

Faktorisieren

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Lösungsschritte

Multiplizieren Sie und kombinieren Sie ähnliche Terme.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$

Um den Ausdruck zu faktorisieren, lösen Sie die Gleichung so auf, dass sie gleich 0 ist.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16=0$$

Laut dem Satz über rationale Nullstellen (Rational Root Theorem) haben alle rationalen Nullstellen eines Polynoms die Form \frac{p}{q}, wobei der konstante Ausdruck -16 durch p dividiert wird und der Leitkoeffizient 3 durch q. Listen Sie alle Kandidaten \frac{p}{q} auf.

$$±\frac{16}{3},±16,±\frac{8}{3},±8,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Finden Sie eine solche Wurzel, indem Sie alle ganzzahligen Werte ausprobieren, beginnend mit dem gemäß dem absoluten Wert kleinsten. Wenn keine ganzzahligen Wurzeln gefunden werden, probieren Sie Brüche aus.

$$x=-4$$

Bei Faktorisieren Lehrsatz ist x-k ein Faktor des Polynoms für jede Stamm k. Dividieren Sie 3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16 durch x+4, um 3x^{3}+12x^{2}-x-4 zu erhalten. Um das Ergebnis zu faktorisieren, lösen Sie die Gleichung so auf, dass sie gleich 0 ist.

$$3x^{3}+12x^{2}-x-4=0$$

Laut dem Satz über rationale Nullstellen (Rational Root Theorem) haben alle rationalen Nullstellen eines Polynoms die Form \frac{p}{q}, wobei der konstante Ausdruck -4 durch p dividiert wird und der Leitkoeffizient 3 durch q. Listen Sie alle Kandidaten \frac{p}{q} auf.

$$±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Finden Sie eine solche Wurzel, indem Sie alle ganzzahligen Werte ausprobieren, beginnend mit dem gemäß dem absoluten Wert kleinsten. Wenn keine ganzzahligen Wurzeln gefunden werden, probieren Sie Brüche aus.

$$x=-4$$

Bei Faktorisieren Lehrsatz ist x-k ein Faktor des Polynoms für jede Stamm k. Dividieren Sie 3x^{3}+12x^{2}-x-4 durch x+4, um 3x^{2}-1 zu erhalten. Um das Ergebnis zu faktorisieren, lösen Sie die Gleichung so auf, dass sie gleich 0 ist.

$$3x^{2}-1=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch 0 und c durch -1.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Berechnungen ausführen.

$$x=\frac{0±2\sqrt{3}}{6}$$

Lösen Sie die Gleichung 3x^{2}-1=0, wenn ± Plus ist und wenn ± minus ist.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3} x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck mit den erhaltenen Wurzeln um. Das Polynom 3x^{2}-1 ist nicht faktorisiert, weil es keine rationalen Nullstellen besitzt.

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Auswerten

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Lösungsschritte

Kombinieren Sie 48x^{2} und -x^{2}, um 47x^{2} zu erhalten.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$