3x^2-5x+4=0 lösen

$$3 x ^ { 2 } - 5 x + 4 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6}\approx 0,833333333+0,799305254i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}\approx 0,833333333-0,799305254i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}-5x+4=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -5 und c durch 4, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

-5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\times 4}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-48}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 25 zu -48.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-23}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -23.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{23}i}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -5 ist 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{23}i}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{5±\sqrt{23}i}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±\sqrt{23}i}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 5 zu i\sqrt{23}.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±\sqrt{23}i}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{23} von 5.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6} x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}-5x+4=0$$

4 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$3x^{2}-5x+4-4=-4$$

Die Subtraktion von 4 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}-5x=-4$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=-\frac{4}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{4}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{5}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{6} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{6} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{6}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{4}{3}+\frac{25}{36}$$

Addieren Sie -\frac{4}{3} zu \frac{25}{36}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{23}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{23}{36}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{36}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{23}i}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{23}i}{6}$$

Addieren Sie \frac{5}{6} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6} x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}$$