3x^2-40x+96=0 lösen

$$3 x ^ { 2 } - 40 x + 96 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{4 \sqrt{7} + 20}{3} \approx 10,194335081$$

$$x = \frac{20 - 4 \sqrt{7}}{3} \approx 3,138998252$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}-40x+96=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -40 und c durch 96, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 3\times 96}}{2\times 3}$$

-40 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 3\times 96}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-12\times 96}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit 96.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1152}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 1600 zu -1152.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{448}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 448.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±8\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -40 ist 40.

$$x=\frac{40±8\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{40±8\sqrt{7}}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{40±8\sqrt{7}}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 40 zu 8\sqrt{7}.

$$x=\frac{8\sqrt{7}+40}{6}$$

Dividieren Sie 40+8\sqrt{7} durch 6.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+20}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{40±8\sqrt{7}}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 8\sqrt{7} von 40.

$$x=\frac{40-8\sqrt{7}}{6}$$

Dividieren Sie 40-8\sqrt{7} durch 6.

$$x=\frac{20-4\sqrt{7}}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+20}{3} x=\frac{20-4\sqrt{7}}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}-40x+96=0$$

96 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$3x^{2}-40x+96-96=-96$$

Die Subtraktion von 96 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}-40x=-96$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}-40x}{3}=-\frac{96}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x=-\frac{96}{3}$$

Dividieren Sie -96 durch 3.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x=-32$$

Dividieren Sie -\frac{40}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{20}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{20}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}=-32+\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{20}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}=-32+\frac{400}{9}$$

Addieren Sie -32 zu \frac{400}{9}.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}=\frac{112}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{20}{3}\right)^{2}=\frac{112}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{20}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{112}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{20}{3}=\frac{4\sqrt{7}}{3} x-\frac{20}{3}=-\frac{4\sqrt{7}}{3}$$

Addieren Sie \frac{20}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+20}{3} x=\frac{20-4\sqrt{7}}{3}$$