3x^2-20x-7=0 lösen

$$3 x ^ { 2 } - 20 x - 7 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=7$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3x^{2}+ax+bx-7 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-20 ab=3\left(-7\right)=-21$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -21 ergeben.

$$1,-21 3,-7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-21=-20 3-7=-4$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -20 ergibt.

$$a=-21 b=1$$

3x^{2}-20x-7 als \left(3x^{2}-21x\right)+\left(x-7\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}-21x\right)+\left(x-7\right)$$

Klammern Sie 3x in 3x^{2}-21x aus.

$$3x\left(x-7\right)+x-7$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-7 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-7\right)\left(3x+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-7=0 und 3x+1=0.

$$x=7 x=-\frac{1}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}-20x-7=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -20 und c durch -7, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

-20 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-12\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -7.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400+84}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 400 zu 84.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{484}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 484.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±22}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -20 ist 20.

$$x=\frac{20±22}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{20±22}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{20±22}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 20 zu 22.

$$x=\frac{42}{6}$$

Dividieren Sie 42 durch 6.

$$x=7$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{20±22}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 22 von 20.

$$x=-\frac{2}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-2}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=7 x=-\frac{1}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}-20x-7=0$$

Addieren Sie 7 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$3x^{2}-20x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Die Subtraktion von -7 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}-20x=-\left(-7\right)$$

Subtrahieren Sie -7 von 0.

$$3x^{2}-20x=7$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}-20x}{3}=\frac{7}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=\frac{7}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{20}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{10}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{10}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{7}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{10}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{7}{3}+\frac{100}{9}$$

Addieren Sie \frac{7}{3} zu \frac{100}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{121}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{121}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{10}{3}=\frac{11}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{11}{3}$$

Addieren Sie \frac{10}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=7 x=-\frac{1}{3}$$