3x^2=5+14x lösen

$$3 x ^ { 2 } = 5 + 14 x$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 5 von beiden Seiten.

$$3x^{2}-5=14x$$

Subtrahieren Sie 14x von beiden Seiten.

$$3x^{2}-5-14x=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$3x^{2}-14x-5=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3x^{2}+ax+bx-5 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-14 ab=3\left(-5\right)=-15$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -15 ergeben.

$$1,-15 3,-5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-15=-14 3-5=-2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -14 ergibt.

$$a=-15 b=1$$

3x^{2}-14x-5 als \left(3x^{2}-15x\right)+\left(x-5\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}-15x\right)+\left(x-5\right)$$

Klammern Sie 3x in 3x^{2}-15x aus.

$$3x\left(x-5\right)+x-5$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-5\right)\left(3x+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-5=0 und 3x+1=0.

$$x=5 x=-\frac{1}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Subtrahieren Sie 5 von beiden Seiten.

$$3x^{2}-5=14x$$

Subtrahieren Sie 14x von beiden Seiten.

$$3x^{2}-5-14x=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}-14x-5=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -14 und c durch -5, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

-14 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -5.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+60}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 196 zu 60.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{256}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 256.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±16}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -14 ist 14.

$$x=\frac{14±16}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{14±16}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{14±16}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 14 zu 16.

$$x=\frac{30}{6}$$

Dividieren Sie 30 durch 6.

$$x=5$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{14±16}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 16 von 14.

$$x=-\frac{2}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-2}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=5 x=-\frac{1}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Subtrahieren Sie 14x von beiden Seiten.

$$3x^{2}-14x=5$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}-14x}{3}=\frac{5}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x=\frac{5}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{14}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{7}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{7}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x+\left(-\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(-\frac{7}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{7}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{5}{3}+\frac{49}{9}$$

Addieren Sie \frac{5}{3} zu \frac{49}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{64}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{64}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{7}{3}=\frac{8}{3} x-\frac{7}{3}=-\frac{8}{3}$$

Addieren Sie \frac{7}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=5 x=-\frac{1}{3}$$