3x^2+14x-5=0 lösen

$$3 x ^ { 2 } + 14 x - 5 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3x^{2}+ax+bx-5 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=14 ab=3\left(-5\right)=-15$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -15 ergeben.

$$-1,15 -3,5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 14 ergibt.

$$a=-1 b=15$$

3x^{2}+14x-5 als \left(3x^{2}-x\right)+\left(15x-5\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}-x\right)+\left(15x-5\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(3x-1\right)+5\left(3x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x-1\right)\left(x+5\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3x-1=0 und x+5=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-5$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}+14x-5=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch 14 und c durch -5, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

14 zum Quadrat.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -5.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+60}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 196 zu 60.

$$x=\frac{-14±\sqrt{256}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 256.

$$x=\frac{-14±16}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{-14±16}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-14±16}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -14 zu 16.

$$x=\frac{2}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{2}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-14±16}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 16 von -14.

$$x=-\frac{30}{6}$$

Dividieren Sie -30 durch 6.

$$x=-5$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{1}{3} x=-5$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}+14x-5=0$$

Addieren Sie 5 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$3x^{2}+14x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Die Subtraktion von -5 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}+14x=-\left(-5\right)$$

Subtrahieren Sie -5 von 0.

$$3x^{2}+14x=5$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}+14x}{3}=\frac{5}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=\frac{5}{3}$$

Dividieren Sie \frac{14}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{7}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{7}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{7}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{5}{3}+\frac{49}{9}$$

Addieren Sie \frac{5}{3} zu \frac{49}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{64}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{64}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{7}{3}=\frac{8}{3} x+\frac{7}{3}=-\frac{8}{3}$$

\frac{7}{3} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{1}{3} x=-5$$