3v^2-21v+34=0 lösen

$$3 v ^ { 2 } - 21 v + 34 = 0$$

Nach v auflösen

$$v=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{7}{2}\approx 4,457427108$$

$$v=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{7}{2}\approx 2,542572892$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3v^{2}-21v+34=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -21 und c durch 34, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$v=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 3\times 34}}{2\times 3}$$

-21 zum Quadrat.

$$v=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 3\times 34}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$v=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-12\times 34}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit 34.

$$v=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-408}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 441 zu -408.

$$v=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{33}}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -21 ist 21.

$$v=\frac{21±\sqrt{33}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$v=\frac{21±\sqrt{33}}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung v=\frac{21±\sqrt{33}}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 21 zu \sqrt{33}.

$$v=\frac{\sqrt{33}+21}{6}$$

Dividieren Sie 21+\sqrt{33} durch 6.

$$v=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{7}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung v=\frac{21±\sqrt{33}}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{33} von 21.

$$v=\frac{21-\sqrt{33}}{6}$$

Dividieren Sie 21-\sqrt{33} durch 6.

$$v=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{7}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$v=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{7}{2} v=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{7}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3v^{2}-21v+34=0$$

34 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$3v^{2}-21v+34-34=-34$$

Die Subtraktion von 34 von sich selbst ergibt 0.

$$3v^{2}-21v=-34$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3v^{2}-21v}{3}=-\frac{34}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$v^{2}+\left(-\frac{21}{3}\right)v=-\frac{34}{3}$$

Dividieren Sie -21 durch 3.

$$v^{2}-7v=-\frac{34}{3}$$

Dividieren Sie -7, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{7}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{7}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$v^{2}-7v+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-\frac{34}{3}+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{7}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$v^{2}-7v+\frac{49}{4}=-\frac{34}{3}+\frac{49}{4}$$

Addieren Sie -\frac{34}{3} zu \frac{49}{4}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$v^{2}-7v+\frac{49}{4}=\frac{11}{12}$$

Faktor v^{2}-7v+\frac{49}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(v-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{11}{12}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(v-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{12}}$$

Vereinfachen.

$$v-\frac{7}{2}=\frac{\sqrt{33}}{6} v-\frac{7}{2}=-\frac{\sqrt{33}}{6}$$

Addieren Sie \frac{7}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$v=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{7}{2} v=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{7}{2}$$