3u^2+51u+90 lösen

$$3 u ^ { 2 } + 51 u + 90$$

Faktorisieren

$$3\left(u+2\right)\left(u+15\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 3 aus.

$$3\left(u^{2}+17u+30\right)$$

Betrachten Sie u^{2}+17u+30. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als u^{2}+au+bu+30 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=17 ab=1\times 30=30$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 30 ergeben.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 17 ergibt.

$$a=2 b=15$$

u^{2}+17u+30 als \left(u^{2}+2u\right)+\left(15u+30\right) umschreiben.

$$\left(u^{2}+2u\right)+\left(15u+30\right)$$

Klammern Sie u in der ersten und 15 in der zweiten Gruppe aus.

$$u\left(u+2\right)+15\left(u+2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term u+2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(u+2\right)\left(u+15\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$3\left(u+2\right)\left(u+15\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$3u^{2}+51u+90=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$u=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\times 3\times 90}}{2\times 3}$$

51 zum Quadrat.

$$u=\frac{-51±\sqrt{2601-4\times 3\times 90}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$u=\frac{-51±\sqrt{2601-12\times 90}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit 90.

$$u=\frac{-51±\sqrt{2601-1080}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 2601 zu -1080.

$$u=\frac{-51±\sqrt{1521}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1521.

$$u=\frac{-51±39}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$u=\frac{-51±39}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung u=\frac{-51±39}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -51 zu 39.

$$u=-\frac{12}{6}$$

Dividieren Sie -12 durch 6.

$$u=-2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung u=\frac{-51±39}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 39 von -51.

$$u=-\frac{90}{6}$$

Dividieren Sie -90 durch 6.

$$u=-15$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} -2 und für x_{2} -15 ein.

$$3u^{2}+51u+90=3\left(u-\left(-2\right)\right)\left(u-\left(-15\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$3u^{2}+51u+90=3\left(u+2\right)\left(u+15\right)$$

Auswerten

$$3\left(u+2\right)\left(u+15\right)$$