3n^2+3n+1=1141 lösen

$$3 n ^ { 2 } + 3 n + 1 = 1141$$

Nach n auflösen

$$n=-20$$

$$n=19$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 1141 von beiden Seiten.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

Subtrahieren Sie 1141 von 1, um -1140 zu erhalten.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$n^{2}+n-380=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als n^{2}+an+bn-380 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=1 ab=1\left(-380\right)=-380$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -380 ergeben.

$$-1,380 -2,190 -4,95 -5,76 -10,38 -19,20$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+380=379 -2+190=188 -4+95=91 -5+76=71 -10+38=28 -19+20=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 1 ergibt.

$$a=-19 b=20$$

n^{2}+n-380 als \left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right) umschreiben.

$$\left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right)$$

Klammern Sie n in der ersten und 20 in der zweiten Gruppe aus.

$$n\left(n-19\right)+20\left(n-19\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term n-19 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(n-19\right)\left(n+20\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie n-19=0 und n+20=0.

$$n=19 n=-20$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

1141 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$3n^{2}+3n+1-1141=1141-1141$$

Die Subtraktion von 1141 von sich selbst ergibt 0.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

Subtrahieren Sie 1141 von 1.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch 3 und c durch -1140, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

3 zum Quadrat.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-12\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -1140.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9+13680}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 9 zu 13680.

$$n=\frac{-3±\sqrt{13689}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 13689.

$$n=\frac{-3±117}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$n=\frac{-3±117}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung n=\frac{-3±117}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -3 zu 117.

$$n=\frac{114}{6}$$

Dividieren Sie 114 durch 6.

$$n=19$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung n=\frac{-3±117}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 117 von -3.

$$n=-\frac{120}{6}$$

Dividieren Sie -120 durch 6.

$$n=-20$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$n=19 n=-20$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$3n^{2}+3n+1-1=1141-1$$

Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.

$$3n^{2}+3n=1141-1$$

Subtrahieren Sie 1 von 1141.

$$3n^{2}+3n=1140$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3n^{2}+3n}{3}=\frac{1140}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$n^{2}+\frac{3}{3}n=\frac{1140}{3}$$

Dividieren Sie 3 durch 3.

$$n^{2}+n=\frac{1140}{3}$$

Dividieren Sie 1140 durch 3.

$$n^{2}+n=380$$

Dividieren Sie 1, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=380+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=380+\frac{1}{4}$$

Addieren Sie 380 zu \frac{1}{4}.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{1521}{4}$$

Faktor n^{2}+n+\frac{1}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1521}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1521}{4}}$$

Vereinfachen.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{39}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{39}{2}$$

\frac{1}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$n=19 n=-20$$