3x^2-8x-15=0 lösen

$$3 { x }^{ 2 } -8x-15 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{61} + 4}{3} \approx 3,936749892$$

$$x=\frac{4-\sqrt{61}}{3}\approx -1,270083225$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}-8x-15=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -8 und c durch -15, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

-8 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -15.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+180}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 64 zu 180.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{244}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 244.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -8 ist 8.

$$x=\frac{8±2\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{8±2\sqrt{61}}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{8±2\sqrt{61}}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 8 zu 2\sqrt{61}.

$$x=\frac{2\sqrt{61}+8}{6}$$

Dividieren Sie 8+2\sqrt{61} durch 6.

$$x=\frac{\sqrt{61}+4}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{8±2\sqrt{61}}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{61} von 8.

$$x=\frac{8-2\sqrt{61}}{6}$$

Dividieren Sie 8-2\sqrt{61} durch 6.

$$x=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{61}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}-8x-15=0$$

Addieren Sie 15 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$3x^{2}-8x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Die Subtraktion von -15 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}-8x=-\left(-15\right)$$

Subtrahieren Sie -15 von 0.

$$3x^{2}-8x=15$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}-8x}{3}=\frac{15}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{15}{3}$$

Dividieren Sie 15 durch 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=5$$

Dividieren Sie -\frac{8}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{4}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{4}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{4}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=5+\frac{16}{9}$$

Addieren Sie 5 zu \frac{16}{9}.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{61}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{61}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{61}}{3} x-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{61}}{3}$$

Addieren Sie \frac{4}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{61}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$