3x^2-2x-9=0 lösen

$$3 { x }^{ 2 } -2x-9 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{2 \sqrt{7} + 1}{3} \approx 2,097167541$$

$$x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}\approx -1,430500874$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}-2x-9=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -2 und c durch -9, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

-2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -9.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+108}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 4 zu 108.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{112}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 112.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -2 ist 2.

$$x=\frac{2±4\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 2 zu 4\sqrt{7}.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+2}{6}$$

Dividieren Sie 2+4\sqrt{7} durch 6.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4\sqrt{7} von 2.

$$x=\frac{2-4\sqrt{7}}{6}$$

Dividieren Sie 2-4\sqrt{7} durch 6.

$$x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3} x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}-2x-9=0$$

Addieren Sie 9 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$3x^{2}-2x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Die Subtraktion von -9 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}-2x=-\left(-9\right)$$

Subtrahieren Sie -9 von 0.

$$3x^{2}-2x=9$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{9}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{9}{3}$$

Dividieren Sie 9 durch 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=3$$

Dividieren Sie -\frac{2}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=3+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=3+\frac{1}{9}$$

Addieren Sie 3 zu \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{28}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{28}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{28}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{7}}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{7}}{3}$$

Addieren Sie \frac{1}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3} x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$