3x^2+45x-354=0 lösen

$$3 { x }^{ 2 } +45x-354=0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{697} - 15}{2} \approx 5,700378782$$

$$x=\frac{-\sqrt{697}-15}{2}\approx -20,700378782$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}+45x-354=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch 45 und c durch -354, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\times 3\left(-354\right)}}{2\times 3}$$

45 zum Quadrat.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-4\times 3\left(-354\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-12\left(-354\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -354.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025+4248}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 2025 zu 4248.

$$x=\frac{-45±\sqrt{6273}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 6273.

$$x=\frac{-45±3\sqrt{697}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{-45±3\sqrt{697}}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-45±3\sqrt{697}}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -45 zu 3\sqrt{697}.

$$x=\frac{3\sqrt{697}-45}{6}$$

Dividieren Sie -45+3\sqrt{697} durch 6.

$$x=\frac{\sqrt{697}-15}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-45±3\sqrt{697}}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 3\sqrt{697} von -45.

$$x=\frac{-3\sqrt{697}-45}{6}$$

Dividieren Sie -45-3\sqrt{697} durch 6.

$$x=\frac{-\sqrt{697}-15}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{697}-15}{2} x=\frac{-\sqrt{697}-15}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}+45x-354=0$$

Addieren Sie 354 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$3x^{2}+45x-354-\left(-354\right)=-\left(-354\right)$$

Die Subtraktion von -354 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}+45x=-\left(-354\right)$$

Subtrahieren Sie -354 von 0.

$$3x^{2}+45x=354$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}+45x}{3}=\frac{354}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{45}{3}x=\frac{354}{3}$$

Dividieren Sie 45 durch 3.

$$x^{2}+15x=\frac{354}{3}$$

Dividieren Sie 354 durch 3.

$$x^{2}+15x=118$$

Dividieren Sie 15, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{15}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{15}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=118+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{15}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=118+\frac{225}{4}$$

Addieren Sie 118 zu \frac{225}{4}.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{697}{4}$$

Faktor x^{2}+15x+\frac{225}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{697}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{697}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{\sqrt{697}}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{\sqrt{697}}{2}$$

\frac{15}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{697}-15}{2} x=\frac{-\sqrt{697}-15}{2}$$